Условие, что лагранжева функция энергии }\dot q_i-L будет таким же, как механическая энергия EEE

Я изучаю классическую механику Гольдштейна. Я решил проблему, но у меня есть вопрос.

Pro 2.18
Точка массы вынуждена двигаться по безмассовому кольцу радиуса a, закрепленному в вертикальной плоскости, которая вращается вокруг своей вертикальной оси симметрии с постоянной угловой скоростью ω. Получите уравнения движения Лагранжа, предполагая, что единственными внешними силами являются силы гравитации. Что такое константы движения? Покажите, что если ω больше критического значения ω0, может существовать решение, в котором частица остается неподвижной на обруче в точке, отличной от нижней, но что если ω < ω0, единственная стационарная точка для частицы внизу обруча. Каково значение ω0?

Итак, я поступил так, как это решение здесь .

Итак, здесь, когда мы выбираем только одну обобщенную координату θ (полярный угол), энергетическая функция час не то же самое, что энергия. Но в тексте (глава о лагранжиане) сказано, что если потенциал В "=" В ( д ) , час "=" Е . Для этой проблемы В "=" м г а потому что ⁡ θ , (или отрицательное, в зависимости от того, как определить θ или оси), поэтому он удовлетворяет условию, что потенциал зависит только от обобщенной координаты, а не от обобщенной скорости. Так час должно быть Е , но видимо нет. Что здесь не так?

Я знаю, что если я задаю азимутальный угол как независимую переменную, такого противоречия не возникает. Но я не понимаю, почему я должен это делать (задача говорит о том, что азимутальный угол не является независимой переменной, и вывод час "=" Е ничего об этом не говорит)

Наверняка что-то не так с моими рассуждениями, потому что если лагранжиан системы л "=" 1 2 м у ′ 2 + м г у , можно подставить постоянную горизонтальную кинетическую энергию 1 2 м Икс ′ 2 (x здесь не является обобщенной координатой), но это разрушило бы час "=" Е . Может кто-то объяснить это мне?

Ответы (1)

Тот факт, что потенциал В не зависит от скоростей, недостаточно, чтобы энергетическая функция была равна энергии.

В общем случае энергетическая функция

час ≡ ∑ я ∂ л ∂ д ˙ я д ˙ я − л ,
равна механической энергии Е "=" Т + В если

  1. Потенциал не зависит от скоростей;
  2. Кинетическая энергия является однородной функцией степени два от скорости.

С другой стороны, системы, которые являются как голономными , так и склерономными , т. е. положения могут быть записаны как р → а "=" р → а ( д 1 , … , д н ) , удовлетворяют условию 2. Это так, потому что в этом случае

Т "=" 1 2 ∑ я , Дж а ( д ) я Дж д ˙ я д ˙ Дж ,
который удовлетворяет Т ( д , λ д ˙ ) "=" λ 2 Т ( д , д ˙ ) .

Ясно, что рассматриваемая вами система не является склерономной. Обруч на самом деле является ограничением, зависящим от времени, так что положение точечной массы описывается выражением р → "=" р → ( θ , т ) . Следовательно, час ≠ Е .

Спасибо. На самом деле я сам перечитал вывод учебника и обнаружил, что есть дополнительное предположение, на которое вы указали. Я очень рад видеть, что мои рассуждения были правильными.
Эээ... но возникла еще одна проблема. Поэтому для нахождения угла равновесия нужно было установить θ''=0. Мы получаем θ=cos^-1(-sqrt(g/aw^2)). Но когда я использую эффективный потенциал (Veff=T+V-(ma^2θ^2)/2) и нахожу точку, где dVeff/dθ=0, это дает другое значение, θ=cos^-1(sqrt( г/в^2)). (Мне не нравится эта эффективная потенциальная тема, но наш профессор именно так и поступил.) Я не уверен, что является реальным углом равновесия, исходя из интуиции. Поскольку наш профессор использовал E=h (что неверно), его ответ волшебным образом меняет знак, чтобы сделать ответ связным, но мой ответ, кажется, дает противоречие.
Нет кв. Это была ошибка.
Условие, что лагранжева функция энергии }\dot q_i-L будет таким же, как механическая энергия EEE
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v