Лагранжевое упражнение Гольдштейна

Question

Лагранжевое упражнение Гольдштейна

ШредингерсКот

Вопрос 14 из 1-й главы книги Х.Гольдштейна "Классическая механика":

Q: Две точки массы $m$ соединены жестким невесомым стержнем длиной $l$ , центр которого вынужден двигаться по окружности радиуса $a$ . Выразите кинетическую энергию через обобщенные координаты.

Мое понимание проблемы говорит мне, что система имеет только $1$ степень свободы, $\theta$ , так как центр масс движется по окружности фиксированного радиуса в фиксированной плоскости. Таким образом, должна быть только одна обобщенная координата. Теперь, если я учту, что векторы положения $2$ точечные массы $\vec r_1$ и $\vec r_2$ соответственно, то ограничения системы равны

| {\vec{р}}_{2} - {\vec{р}}_{1} | "=" л

$\lvert\vec r_2-\vec r_1\rvert=l$

| \frac{{\vec{р}}_{2} + {\vec{р}}_{1}}{2} | "=" а

$\left\lvert\frac{\vec r_2+\vec r_1}{2}\right\rvert=a$

Но с этого момента я не могу узнать обобщенную координату. Скажите, прав ли я насчет степеней свободы системы? И я на правильном пути? Как мне поступить?

Кроме того, еще один момент заключается в том, что ничего не написано, если массы вращаются вокруг своего центра масс. Должен ли я делать специальный случай для этого?

Санья

есть 2 степени свободы (как я понимаю), я бы сам начал с параметризации возможных положений центра стержня, а затем возможных положений масс, если смотреть из центра стержня, и продвигаться оттуда.

Льюис Миллер

В задаче не говорится, что центр стержня вынужден двигаться по окружности при постоянной скорости.

физиопат

Я согласен с предыдущим комментарием. Имеются две степени свободы. Во-первых, круговое движение по окружности радиуса а, во-вторых, вращение масс вокруг их центра масс (как вы предложили).

Льюис Миллер

Продолжение: скорость, следовательно, две обобщенные координаты. Массы - это точки, поэтому нет вращения.

Гарип

В вопросе прямо не говорится, что стержень может свободно вращаться вокруг своего центра, но я думаю, что это и есть цель. Я бы также предположил, что все движение происходит в одной плоскости. Я думаю, что этот вопрос нуждается в некоторой словесности.

Флорис

Если это не двумерная проблема (как предполагает @garyp), я вижу три степени свободы. Существует вращение центра масс и два возможных вращения двух масс вокруг центра.

тупоумный

Ваша кинетическая энергия должна быть выражена как сумма двух источников энергии: движение по кругу радиуса

a

$a$ (что, кстати, не является функцией

r_{1}

$\textbf{r}_1$ и

r_{2}

$\textbf{r}_2$ ), и кинетическая энергия вращения от вращающегося стержня длиной

l

$l$ (т.е. радиусом

\frac{l}{2}

$\frac{l}{2}$ ).

Ответы (2)

Лагранжевое упражнение Гольдштейна

есть 2 степени свободы (как я понимаю), я бы сам начал с параметризации возможных положений центра стержня, а затем возможных положений масс, если смотреть из центра стержня, и продвигаться оттуда.
В задаче не говорится, что центр стержня вынужден двигаться по окружности при постоянной скорости.
Я согласен с предыдущим комментарием. Имеются две степени свободы. Во-первых, круговое движение по окружности радиуса а, во-вторых, вращение масс вокруг их центра масс (как вы предложили).
Продолжение: скорость, следовательно, две обобщенные координаты. Массы - это точки, поэтому нет вращения.
В вопросе прямо не говорится, что стержень может свободно вращаться вокруг своего центра, но я думаю, что это и есть цель. Я бы также предположил, что все движение происходит в одной плоскости. Я думаю, что этот вопрос нуждается в некоторой словесности.
Если это не двумерная проблема (как предполагает @garyp), я вижу три степени свободы. Существует вращение центра масс и два возможных вращения двух масс вокруг центра.
Ваша кинетическая энергия должна быть выражена как сумма двух источников энергии: движение по кругу радиуса $a$ (что, кстати, не является функцией $\textbf{r}_1$ и $\textbf{r}_2$ ), и кинетическая энергия вращения от вращающегося стержня длиной $l$ (т.е. радиусом $\frac{l}{2}$ ).

Марко Антонио Риденти · Answer 1

Эта задача, как и большинство задач из «Классической механики» Гольдштейна, требует тщательного анализа. Они непростые.

Сказав это, я хочу предложить решение этой проблемы. Первоначальный вопрос был о количестве степеней свободы. Мы собираемся туда попасть, а также написать полное выражение для кинетической энергии.

У нас есть две частицы. В трех измерениях без ограничений число степеней свободы равно $n = 2\cdot 3=6$ . Теперь мы можем спросить, сколько существует ограничений. Прежде чем ответить на этот вопрос, давайте вспомним, что любую систему из двух частиц можно описать вектором центра масс $\mathbf{R}$ , и положения относительно центра масс, которые мы можем назвать $\mathbf{r}'_{1}$ и $\mathbf{r}'_{2}$ . В общем случае полная кинетическая энергия определяется кинетической энергией центра масс плюс кинетическая энергия частиц по отношению к центру масс, т.е.

Т "=" Т_{С М} + Т_{1}^{'} + Т_{2}^{'} "=" \frac{М}{2} {\dot{р}}^{2} + \frac{м_{1}}{2} {\dot{р}}_{1}^{2} + \frac{м_{2}}{2} {\dot{р}}_{2}^{2}

$T = T_{CM} + T'_{1} + T'_{2} = \frac{M}{2}\dot{\mathbf{R}}^2 + \frac{m_{1}}{2}\dot{\mathbf{r}}_{1}^2+\frac{m_{2}}{2}\dot{\mathbf{r}}_{2}^2$

Массы двух частиц равны, и центр стержня вынужден двигаться по окружности. Следовательно, центр масс (ЦМ) совпадает с центром стержня и также вынужден двигаться по окружности. ЦМ может быть описан только одной переменной, углом $\Theta$ относительно неподвижной оси - скажем $X$ - начало которой зафиксировано в центре круговой траектории. Если ЦМ ограничен круговым движением, то это эквивалентно тому, что его траектория ограничена плоскостью (-1 степень свободы) по круговой траектории (-1 степень свободы). Итак, нам остается $n = 6-2 = 4$ степени свободы.

The $X, Y, Z$ координаты центра масс можно легко записать как

р "=" (а потому что Θ, а грех Θ, 0)

$\mathbf{R} = (a\cos\Theta, a\sin\Theta, 0)$ Вывод его относительно времени дает нам скорость

\dot{р} "=" (- а \dot{Θ} грех Θ, а \dot{Θ} потому что Θ, 0)

$\dot{\mathbf{R}} = (-a\dot{\Theta}\sin\Theta, a\dot{\Theta}\cos\Theta, 0)$ Теперь мы можем вычислить кинетическую энергию центра масс.

Т_{С М} "=" \frac{М}{2} (\dot{{Икс}^{2}} + \dot{Д^{2}} + \dot{Z^{2}}) "=" \frac{М}{2} р^{2} {\dot{Θ}}^{2} .

$T_{CM} = \frac{M}{2} (\dot{\mathbf{X}^2}+\dot{\mathbf{Y}^2}+\dot{\mathbf{Z}^2}) = \frac{M}{2} R^{2}\dot\Theta^{2}\,\, .$

Теперь проанализируем движение частиц относительно ЦМ. Постановка вопроса не ограничивает частицы плоскостным движением, поэтому следует рассматривать стержень, который соединяет их для движения в трехмерном пространстве. Ограничение устраняет еще одну степень свободы, так что остается $n=4-1=3$ . Если дополнительно не ограничить движение стержня плоскостью, система имеет точно $n=3$ степени свободы. Это ответ на ваш вопрос, но давайте теперь рассчитаем кинетическую энергию.

Движение частиц относительно ЦМ может быть описано сферическими координатами, отнесенными к системе отсчета, центр которой находится в ЦМ. Итак, давайте определим $x',y',z'$ кадр, начало которого находится в CM, а ориентация равна ранее определенной $X,Y,Z$ рамка. Позиции $\mathbf{r}'_{1}$ и $\mathbf{r}'_{2}$ может быть записано как

р_{1, 2}^{'} "=" (\frac{л}{2} грех θ_{1, 2} потому что ф_{1, 2}, \frac{л}{2} грех θ_{1, 2} грех ф_{1, 2}, \frac{л}{2} потому что θ_{1, 2} потому что ф_{1, 2})

$\mathbf{r}'_{1,2} = (\frac{l}{2}\sin\theta_{1,2}\cos\phi_{1,2}, \frac{l}{2}\sin\theta_{1,2}\sin\phi_{1,2}, \frac{l}{2}\cos\theta_{1,2}\cos\phi_{1,2})$
В этом выражении мы уже считали радиус траектории фиксированным и равным

l / 2

$l/2$ . Углы

θ_{1}

$\theta_{1}$ и

θ_{2}

$\theta_{2}$ , а также

ϕ_{1}

$\phi_{1}$ и

ϕ_{2}

$\phi_{2}$ , связаны одной фазой, и это не меняет значения кинетической энергии. Действительно, если массы равны и они вынуждены двигаться с одинаковой величиной угловой скорости и скорости, то их кинетические энергии равны. Поэтому мы просто вычислим кинетическую энергию одной частицы и умножим ее на два. Теперь будем использовать углы

θ_{1}

$\theta_{1}$ и

ϕ_{1}

$\phi_{1}$ , вычислить

T_{1}^{'}

$T'_{1}$ , опуская их индексы.

Т_{1}^{'} "=" \frac{м}{2} (\dot{{Икс}_{1}^{' 2}} + \dot{у_{1}^{' 2}} + \dot{г_{1}^{' 2}}) "=" \frac{м}{2} \frac{л^{2}}{4} ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{ф}}^{2} грех θ)

$T'_{1} = \frac{m}{2} (\dot{\mathbf{x}_{1}'^2}+\dot{\mathbf{y}_{1}'^2}+\dot{\mathbf{z}_{1}'^2}) = \frac{m}{2}\frac{l^2}{4}(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin\theta)$

Наконец, мы можем записать полную кинетическую энергию:

Т "=" Т_{С М} + Т_{1}^{'} + Т_{2}^{'} "=" \frac{М}{2} р^{2} {\dot{Θ}}^{2} + м \frac{л^{2}}{4} ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{ф}}^{2} грех θ)

$T = T_{CM} + T'_{1} + T'_{2} = \frac{M}{2} R^{2}\dot\Theta^{2} + m\frac{l^2}{4}(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin\theta)$

Используя определение приведенной массы , т.е. $\mu=m^2/2m = m/2$ , кинетическая энергия может быть записана как

Т "=" \frac{М}{2} р^{2} {\dot{Θ}}^{2} + \frac{мю}{2} л^{2} ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{ф}}^{2} грех θ)

$T = \frac{M}{2} R^{2}\dot\Theta^{2} + \frac{\mu}{2} l^2(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin\theta)$ Задача имеет три степени свободы, и обобщенные координаты, используемые для решения этой задачи, равны

Θ, θ

$\Theta, \theta$ и

ϕ

$\phi$ , как определено в нашем решении.

физиопат · Answer 2

Я думаю, что прилагаемая рукопись является ответом на ваш вопрос...

Лагранжевое упражнение Гольдштейна

ШредингерсКот

Санья

Льюис Миллер

физиопат

Льюис Миллер

Гарип

Флорис

тупоумный

Ответы (2)

Марко Антонио Риденти

физиопат

Уравнения движения свободной частицы на сфере

Могут ли множители Лагранжа зависеть от координат?

Различные результаты для гамильтониана диска, катящегося по наклонной плоскости

Как найти гамильтониан из этого простого лагранжиана? (сложный)

Вычислить преобразование Лежандра для сингулярного лагранжиана

Преобразование Лежандра лагранжиана с ограничениями

Условие, что лагранжева функция энергии }\dot q_i-L будет таким же, как механическая энергия EEE

Множители Лагранжа для простого маятника

Противоречие в лагранжевом и гамильтоновом формализме?

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает