Уравнения движения свободной частицы на сфере

Question

Уравнения движения свободной частицы на сфере

Альвизе С

Я вывел уравнения движения для частицы, удерживаемой на поверхности сферы. Параметризуя траекторию как функцию времени с помощью обычного $\theta$ и $\phi$ углов, эти уравнения гласят:

\ddot{θ} "=" {\dot{ф}}^{2} грех θ потому что θ

$\ddot{\theta} = \dot{\phi}^2 \sin \theta \cos \theta$

\ddot{ф} "=" - 2 \dot{ф} \dot{θ} \frac{1}{загар θ}

$\ddot{\phi} = - 2 \dot{\phi} \dot{\theta} \frac{1}{\tan \theta}$

Я получил их, исходя из лагранжиана системы и используя уравнения Эйлера-Лагранжа.

Мой вопрос прост: есть ли способ (может быть, хитрая замена) продолжить и решить дифференциальные уравнения? Меня бы заинтересовало даже более простое, частично интегрированное решение. Или только численное решение?

ДелКросБ

Какой лагранжиан вы использовали для системы?

Qмеханик

@DelCrosB: лагранжиан в уравнении. (1) моего ответа Phys.SE здесь .

ДелКросБ

@Qmechanic: это то, что я бы тоже использовал. Но я не понимаю, как оттуда берутся уравнения EL в ОП. Разве это не

ϕ

$\phi$ циклическая координата, дающая

\ddot{ϕ} = 0

$\ddot{\phi}=0$ как и должно быть?

Даниэль Санк

1) Это, вероятно, лучше подходит для Math Stack Exchange. 2) Подобные вопросы необходимы, чтобы продемонстрировать усилия и определить конкретную концептуальную проблему, о которой вы хотите спросить. Спрашивая "как мне это решить?" не поддерживается на этом сайте. Дополнительную информацию см. в справочном центре.

Ответы (4)

Уравнения движения свободной частицы на сфере

Какой лагранжиан вы использовали для системы?
@DelCrosB: лагранжиан в уравнении. (1) моего ответа Phys.SE здесь .
@Qmechanic: это то, что я бы тоже использовал. Но я не понимаю, как оттуда берутся уравнения EL в ОП. Разве это не $\phi$ циклическая координата, дающая $\ddot{\phi}=0$ как и должно быть?
1) Это, вероятно, лучше подходит для Math Stack Exchange. 2) Подобные вопросы необходимы, чтобы продемонстрировать усилия и определить конкретную концептуальную проблему, о которой вы хотите спросить. Спрашивая "как мне это решить?" не поддерживается на этом сайте. Дополнительную информацию см. в справочном центре.

Джейкоб Манакер · Answer 1

Обратите внимание, что вы можете переписать второе уравнение как

\frac{\ddot{ф}}{\dot{ф}} "=" - 2 детская кроватка (θ) \dot{θ}

$\frac{\ddot{\phi}}{\dot{\phi}} = -2\cot{(\theta)}\dot{\theta}$ Каждая сторона является точным дифференциалом одной переменной, поэтому мы можем интегрировать, и Wolfram|Alpha дает

п (\dot{ф}) "=" - 2 п (грех (θ)) + С

$\ln{(\dot{\phi})}=-2\ln{(\sin{(\theta)})}+C$ для некоторой постоянной интегрирования

C

$C$ . Мы можем возвести в степень, чтобы получить

\dot{ф} "=" \frac{Б}{грех {(θ)}^{2}}

$\dot{\phi}=\frac{B}{\sin{(\theta)}^2}$

Подставляя это в первое уравнение, получаем

\ddot{θ} "=" Б^{2} \frac{потому что (θ)}{грех {(θ)}^{3}}

$\ddot{\theta}=B^2\frac{\cos{(\theta)}}{\sin{(\theta)}^3}$ Это тоже можно проинтегрировать с помощью «энергетического трюка»: умножить на

θ

$\theta$ , затем интегрировать. LHS интегрируется по частям для

{\dot{θ}}^{2}

$\dot{\theta}^2$ но RHS выглядит достаточно сложно, я не хочу печатать его на своем телефоне.

Ян Лалински · Answer 2

В случае, если на частицу не действуют никакие внешние силы, кроме поддерживающих связь, нет необходимости писать и решать уравнения движения в конкретной системе координат. Частица будет двигаться с постоянной скоростью по некоторому большому кругу на сфере. Какая это будет окружность и скорость движения определяются начальным положением и скоростью частицы.

Шон Э. Лейк · Answer 3

Я проверил, и эти уравнения движения соответствуют движению свободного лагранжиана. Что-то, что облегчит вашу жизнь при решении этой проблемы, — это признание того, что угловой момент здесь сохраняется. Поскольку скорость гарантированно перпендикулярна радиусу:

\begin{aligned} | л | & "=" м в р \\ "=" м р (\dot{θ} + \dot{ф} грех θ) \\ | \dot{л} | & "=" м р (\ddot{θ} + \ddot{ф} грех θ + \dot{ф} \dot{θ} потому что θ) "=" 0. \end{aligned}

$\begin{align} |\mathbf{L}| &= mvr \\ & = mr \left(\dot{\theta} + \dot{\phi}\sin\theta\right) \\ |\dot{\mathbf{L}}| & = mr\left(\ddot{\theta} + \ddot{\phi}\sin\theta + \dot{\phi}\dot{\theta}\cos\theta\right) = 0.\end{align}$ Вы должны уметь комбинировать уравнения движения, чтобы показать последнюю строку. У вас также есть это

| L | = I ω

$|L| = I\omega$ и потому что

I

$I$ фиксирована, это означает, что скорость изменения некоторой угловой переменной постоянна. Последний совет, который я даю, заключается в том, что вы должны посмотреть, как повороты могут быть определены как повороты вокруг оси на угол .

чандрасекар17 · Answer 4

Учитывая, что вы знаете о сохранении полного углового момента в сфере (если нет, я докажу это ниже), из лагранжиана, который, я думаю, вы используете, вы получите:

л "=" \frac{1}{2} р^{2} ({\dot{θ}}^{2} + {грех}^{2} θ {\dot{ф}}^{2})

$\mathcal{L}=\dfrac{1}{2}R^2\left(\dot\theta^2+\sin^2\theta\,\dot\phi^2\right)$

л_{θ} "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{θ}} "=" \dot{θ}

$l_\theta=\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\theta}=\dot\theta$

л_{ф} "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{ф}} "=" {грех}^{2} θ \dot{ф} "=" с о н с т (с \frac{\partial л}{\partial ф} "=" 0)

$l_\phi=\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\phi}=\sin^2\theta\,\dot\phi=const\quad \left(\text{since }\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0\right)$

для $r=R\,$ фиксируется для сферы радиусом $R$ . Ты можешь видеть $l_\theta$ и $l_\phi$ сопряженные импульсы, связанные с $\theta$ и $\phi$ , соответственно.

Полный угловой момент системы $L$ подчиняется следующему:

л^{2} "=" м р^{2} ({\dot{θ}}^{2} + {грех}^{2} θ {\dot{ф}}^{2})

$L^2=mR^2\left(\dot\theta^2+\sin^2\theta\,\dot\phi^2\right)$

определение $l^2=\dfrac{L^2}{mR^2}$ и используя то, что мы нашли выше: $\,\dot\theta^2=l_\theta^2\quad\text{and}\quad\,\dot\phi^2=\dfrac{l_\phi^2}{\sin^4\theta}$ .

Таким образом:

$l^2=l_\theta^2+\dfrac{l_\phi^2}{\sin^2\theta}$

Мы хотели бы показать, что этот полный угловой момент также сохраняется. Отметив, что дифференцирование по параметру $\lambda$ мы получаем, что это сохраняется для кривой, параметризованной $\lambda$ :

\frac{г л^{2}}{г λ} "=" \frac{г}{г λ} {\dot{θ}}^{2} + \frac{г}{г λ} (\frac{л_{ф}^{2}}{{грех}^{2} θ}) "=" 2 (\ddot{θ} - {\dot{ф}}^{2} грех θ потому что θ) \dot{θ} "=" 0

$\dfrac{d\,l^2}{d\lambda}=\dfrac{d}{d\lambda}\,\dot\theta^2+\dfrac{d}{d\lambda}\left(\dfrac{l_\phi^2}{\sin^2\theta}\right)=2\left(\ddot\theta-\dot\phi^2\sin\theta\cos\theta\right)\dot\theta=0$

потому что результат включает уравнение движения для $\theta$ вы уже вычислили, когда равно нулю.

Более того,

\dot{θ} "=" \sqrt{л^{2} - \frac{л_{ф}^{2}}{{грех}^{2} θ}}

$\dot\theta=\sqrt{l^2-\dfrac{l_\phi^2}{\sin^2\theta}}$

\dot{ф} "=" \frac{л_{ф}}{{грех}^{2} θ}

$\dot\phi=\dfrac{l_\phi}{\sin^2\theta}$

и отсюда вы также можете попытаться интегрировать оба уравнения по отдельности. Моя рекомендация будет пытаться найти $\phi=\phi(\theta)$ , поэтому, например, вы можете сделать:

\dot{ф} "=" \frac{г ф}{г θ} \dot{θ}

$\dot\phi=\dfrac{d\phi}{d\theta}\dot\theta$

Более того:

\frac{г ф}{г θ} \sqrt{л^{2} - \frac{л_{ф}^{2}}{{грех}^{2} θ}} "=" \frac{л_{ф}}{{грех}^{2} θ}

$\dfrac{d\phi}{d\theta}\sqrt{l^2-\dfrac{l_\phi^2}{\sin^2\theta}}=\dfrac{l_\phi}{\sin^2\theta}$

\Rightarrow \frac{г ф}{г θ} "=" \frac{л_{ф}}{л} \frac{1}{грех θ \sqrt{{грех}^{2} θ - {(\frac{л_{ф}}{л})}^{2}}}

$\Rightarrow\quad\dfrac{d\phi}{d\theta}=\dfrac{l_\phi}{l}\dfrac{1}{\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta-\left(\frac{l_\phi}{l}\right)^2}}$

Наконец, интегрируя уважение к $\theta$ приводит к:

ф (θ) "=" ф_{0} + арктический (\frac{\frac{л_{ф}}{л} потому что θ}{\sqrt{{грех}^{2} θ - {(\frac{л_{ф}}{л})}^{2}}})

$\phi(\theta)=\phi_0+\arctan\left(\dfrac{\frac{l_\phi}{l}\cos\theta}{\sqrt{\sin^2\theta-\left(\frac{l_\phi}{l}\right)^2}}\right)$

Вы можете использовать любой известный вам плоттер, чтобы увидеть, как он может дать вам части дуги сферы (например, параллели и меридианы) для параметрического 3D-графика, установив $(r=R,\theta\in[0,\pi],\phi=\phi(\theta))$ . Можно получить, например, экватор за $l_\phi=0$ .

Уравнения движения свободной частицы на сфере

Альвизе С

ДелКросБ

Qмеханик

ДелКросБ

Даниэль Санк

Ответы (4)

Джейкоб Манакер

Ян Лалински

Шон Э. Лейк

чандрасекар17

Могут ли множители Лагранжа зависеть от координат?

Различные результаты для гамильтониана диска, катящегося по наклонной плоскости

Как найти гамильтониан из этого простого лагранжиана? (сложный)

Лагранжевое упражнение Гольдштейна

Вычислить преобразование Лежандра для сингулярного лагранжиана

Преобразование Лежандра лагранжиана с ограничениями

Условие, что лагранжева функция энергии }\dot q_i-L будет таким же, как механическая энергия EEE

Множители Лагранжа для простого маятника

Противоречие в лагранжевом и гамильтоновом формализме?

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает