Могут ли множители Лагранжа зависеть от координат?

При работе с множителями Лагранжа для решения систем с ограничениями у нас обычно есть два способа, если ограничения голономны:

• Дифференцируйте ограничение и добавьте соответствующий член к EOM Эйлера-Лагранжа:

  $$g_j(q_i,t) \rightarrow d g_j= \frac{\partial g_j}{\partial q_i}dq_i + \frac{\partial g_j}{\partial t}$$ затем МНВ читала: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \sum_j\lambda_j\frac{\partial g_j}{\partial q_i},\quad \forall i$$

• Или добавьте ограничение к лагранжиану и обработайте множители$\lambda_j$как новые координаты:

  $$L'(q_i,\dot{q}_i,t;\lambda_j) = L(q_i,\dot{q}_i,t) + \sum_j \lambda_j g_j(q_i,t)$$ и мы получим те же уравнения. (См., например, главу 2 Дэвида Тонга по классической динамике .)

Но второй способ, по-видимому, подразумевает, что множители$\lambda_j$зависят не в обобщенных координатах, а, например, в простом маятнике:

$$L = \frac{1}{2}m (\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) + mgr(1-\cos(\phi))$$ с ограничением $g= r-l$, если мы решим для $\lambda$мы можем прийти к следующему выражению: $$\lambda = -ml\dot{\phi} -mg(1-\cos(\phi))$$ и что это также сила реакции, так как сила реакции записывается $Q_i = \sum_j \lambda_j\frac{\partial g_j}{\partial q_i}$(См. Классическую механику: системы частиц и гамильтонову динамику Уолтера Грейнера, гл. 16)

Тогда можно ли сказать, что множители$\lambda_j$зависят от координат и их скоростей и может быть их ускорений? Не будет ли это противоречить второму способу вывода?