Множители Лагранжа для простого маятника

Question

Множители Лагранжа для простого маятника

Птегай

Здесь мы рассматриваем простой маятник, который анализируется с помощью множителей Лагранжа. На рис. 1 показан маятник длиной $l$ и масса $m$ . Позволять $U=0$ на $x$ -ось. Пусть уравнение связи будет $f(x,y)=\ell=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Лагранжиан становится,

л "=" \frac{1}{2} м [{\dot{Икс}}^{2} + {\dot{у}}^{2}] - м г у .

$L=\frac{1}{2}m[\dot{x}^2+\dot{y}^2]-mgy\mathrm{.}$ Применяя множители Лагранжа, получаем

Ф_{Икс} "=" м \ddot{Икс} "=" λ Икс / л,

$F_x=m\ddot{x}=\lambda x/l\mathrm{,}$ и

Ф_{у} "=" м \ddot{у} "=" λ у / л - м г .

$F_y=m\ddot{y}=\lambda y/l -mg\mathrm{.}$ Сравнивая эти результаты со вторым законом Ньютона, мы можем заключить, что

λ "=" - Т,

$\lambda=-T\mathrm{,}$ и

λ "=" Т .

$\lambda=T\mathrm{.}$

Меня смущает тот факт, что один результат отрицает другой. Я уверен, что сделал ошибку, но я не могу найти ее.

Ответы (1)

Множители Лагранжа для простого маятника

Румпельстилскин · Answer 1

Поэтому вам следует переписать свой лагранжиан $\mathcal{L}$ в дальнейшем

л "=" \frac{1}{2} м ({\dot{Икс}}^{2} + {\dot{у}}^{2}) - м г у + λ ({Икс}^{2} + у^{2} - л^{2}),

$\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) -mgy + \lambda (x^2 + y^2 - l^2),$

где последний член - это ваше уравнение ограничений, которое обычно принимает форму $f(x,y)=0$ или в обобщенных координатах $f(q_i,t)=0$ (это голономное уравнение связи). Итак, следующий шаг — сделать то, что вы сделали выше. Надеюсь, ты сможешь взять это отсюда. PS Хорошая ссылка о том, как подойти к вопросу, дана здесь и здесь .

Уважаемый Румпельстилскин, спасибо за ваш ответ. Однако я заметил, что проблема более тонкая. Все упирается в неправильную систему координат, которую я выбрал. Работая с обычной системой координат xy (как показано на рис. 1), уравнение связи больше НЕ $\ell=\sqrt{x^2+y^2}$ , а какая-то другая функция. Чтобы исправить это, я просто сделал вершину маятника осью Y, а ось указывала вниз. Тогда заданное уравнение связи верно и все работает.
Я думаю, вам даже не нужно менять свои координаты. Обратите внимание на направление силы натяжения при первоначальном выборе ( $y$ направлен вверх) будет $-y/\ell$ , потому что $T$ указывает внутрь. Таким образом, вы можете определить $\lambda =−T$ .

Множители Лагранжа для простого маятника

Птегай

Ответы (1)

Румпельстилскин

Птегай

Даниэль Дуке

Уравнение Эйлера-Лагранжа с логарифмическим потенциалом

Уравнения движения свободной частицы на сфере

Есть ли в классической механике примеры, когда принцип Даламбера не работает?

Могут ли множители Лагранжа зависеть от координат?

Проверка второго типа уравнений лагранжевой механики

Различные результаты для гамильтониана диска, катящегося по наклонной плоскости

Как найти гамильтониан из этого простого лагранжиана? (сложный)

Лагранжевое упражнение Гольдштейна

Когда действует принцип виртуальной работы?

Вычислить преобразование Лежандра для сингулярного лагранжиана