Метод имиджевых зарядов (полусфера на металле)

Question

Метод имиджевых зарядов (полусфера на металле)

Рафа Фафа

В настоящее время я пытаюсь подготовиться к предстоящему семестру, так как у меня перерыв, и я застрял на методе оплаты изображений. Я пытался посмотреть несколько видео на YouTube на эту тему, и мне показалось, что я в какой-то степени понял, поэтому я попробовал себя в некоторых упражнениях в своей рабочей тетради. К сожалению, на эту тему было только одно, так как книга лишь кратко освещала эту тему.

На бесконечно расширенной металлической пластине, лежащей в плоскости xz, лежит металлическая полусфера радиуса a . В $X= (R \cos\alpha, R\sin\alpha, 0)$ есть заряд q.

(1) Определить с помощью метода зарядов изображения потенциал $\phi(x)$ вне сферы и показать, что он решает уравнение Пуассона.

(2) Запишите электростатический потенциал $\phi(x)$ в квадрупольном приближении с монопольным, дипольным и квадропольным моментами.

(3) Относительно начала координат вычислить монопольный, дипольный и квадрупольный моменты системы с зарядами и зарядами изображения.

Честно говоря, я тут совсем запутался. Я пытался следовать видео шаг за шагом, чтобы попытаться решить эту проблему, но я не могу этого сделать. Я даже не знаю, где я должен разместить заряд изображения. Должен ли он быть зеркально отражен по оси Z? Или зеркально отразиться на полусфере? Мое предположение было бы первым, но я не совсем уверен, так как я пробовал это с этим и все еще не знал, как исходить из этого. И что касается (2) и (3): я предполагаю, что квадрупольное приближение касается мультипольного расширения с монополем, диполем и квадруполем? По крайней мере, это было первое, что я нашел, пытаясь найти квадрупольное приближение.

Я знаю, что это грубо с моей стороны спрашивать, так как я не могу предоставить какую-либо работу со своей стороны, которую считаю достойной, но может ли кто-нибудь показать мне общий подход к такого рода проблемам? Я чувствую себя очень глупо после решения этой проблемы. В моей рабочей тетради даже написано, что это простое упражнение для подхода к этой теме.

Редактировать:

@nbubis Я попытался нарисовать конфигурацию зарядов изображения. Это так?:

О (2) и (3): Должен ли я рассматривать это как два диполя, а затем складывать оба потенциала этих диполей, чтобы получить потенциал квадруполя? Но опять же, мне для этого не понадобится квадрупольный момент, верно?

Я предполагаю, что им просто нужна общая формула для квадрупольного приближения и явный ответ на нее в (3). Итак, если бы я пошел по маршруту мультипольного расширения, мне нужно было бы просто вычислить монопольный, дипольный и квадрупольный моменты и сложить их, чтобы получить потенциал? И, по правде говоря, я все еще немного теряюсь в терминологии многополюсного расширения, представленного в Википедии. Трудно понять это от меня, не видя примера, где применяется мультипольное разложение.

Ответы (1)

Метод имиджевых зарядов (полусфера на металле)

нбубис · Answer 1

Сначала поймите метод зарядов изображения. Идея метода состоит в том, чтобы обойти фактическое решение дифференциального уравнения с граничными условиями и вместо этого «обмануть», угадывая правильное решение. Для этого находим такую конфигурацию мнимых зарядов, которая вместе с реальными сделает потенциал на всех поверхностях заданным.

В вашем случае у вас есть две поверхности, каждая с постоянным нулевым потенциалом. Для самолета, если у вас есть заряд $q$ в $(x,y,z)$ и еще один на $(x,-y,z)$ , очевидно, потенциал при $y=0$ будет нулевым. Для сферы, если заряд находится на радиусе $R$ из сферы радиусом $a$ , заряд изображения с зарядом $-qa/R$ должны быть размещены в радиусе $a^2/R$ , но та же идея остается.

Теперь сначала добавьте заряд изображения для сферы. Теперь потенциал на сфере равен нулю, но на плоскости у нас все еще есть градиент. Однако, если вы отразите оба заряда от плоскости, вы должны увидеть, что потенциал как на сфере, так и на плоскости равен нулю.

Записав все это, мы имеем:

\begin{array}{rcl} ф (Икс) & "=" & \frac{д}{\sqrt{(Икс - р потому что α)^{2} + (у - р грех α)^{2} + г^{2}}} \\ - & \frac{д}{\sqrt{(Икс - р потому что α)^{2} + (у + р грех α)^{2} + г^{2}}} \\ - & \frac{д а}{р \sqrt{(Икс - (а^{2} / р) потому что α)^{2} + (у - (а^{2} / р) грех α)^{2} + г^{2}}} \\ + & \frac{д а}{р \sqrt{(Икс - (а^{2} / р) потому что α)^{2} + (у + (а^{2} / р) грех α)^{2} + г^{2}}} \end{array}

$\begin{eqnarray} \phi({\bf x}) &=& \frac{q}{\sqrt{(x-R\cos\alpha)^2+(y-R\sin\alpha)^2+z^2}} \\ &-& \frac{q}{\sqrt{(x-R\cos\alpha)^2+(y+R\sin\alpha)^2+z^2}} \\ &-&\frac{qa}{R\sqrt{(x-(a^2/R)\cos\alpha)^2+(y-(a^2/R)\sin\alpha)^2+z^2}} \\ &+&\frac{qa}{R\sqrt{(x-(a^2/R)\cos\alpha)^2+(y+(a^2/R)\sin\alpha)^2+z^2}} \end{eqnarray}$ Ясно, при

y = 0

$y=0$ у нас есть

ϕ = 0

$\phi=0$ . А что насчет полушария? точки на полусфере удовлетворяют

z^{2} = a^{2} - x^{2} - y^{2}

$z^2 = a^2 - x^2-y^2$ , так что подстановка приводит нас к потенциалу на полушарии:

\begin{array}{rcl} ф ({Икс}_{с п час е р е}) & "=" & \frac{д}{\sqrt{- 2 Икс р потому что α - 2 у р грех α + р^{2} + а^{2}}} \\ - & \frac{д}{\sqrt{- 2 Икс р потому что α + 2 у р грех α + р^{2} + а^{2}}} \\ - & \frac{д а}{р \sqrt{- 2 Икс (а^{2} / р) потому что α - 2 у (а^{2} / р) грех α + (а^{2} / р)^{2} + а^{2}}} \\ + & \frac{д а}{р \sqrt{- 2 Икс (а^{2} / р) потому что α + 2 у (а^{2} / р) грех α + (а^{2} / р)^{2} + а^{2}}} \\ "=" & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} \phi({\bf x}_{sphere}) &=& \frac{q}{\sqrt{-2xR\cos\alpha -2yR\sin\alpha + R^2 +a^2}} \\ &-& \frac{q}{\sqrt{-2xR\cos\alpha +2yR\sin\alpha + R^2 +a^2}} \\ &-&\frac{qa}{R\sqrt{-2x(a^2/R)\cos\alpha -2y(a^2/R)\sin\alpha + (a^2/R)^2 + a^2}} \\ &+&\frac{qa}{R\sqrt{-2x(a^2/R)\cos\alpha +2y(a^2/R)\sin\alpha + (a^2/R)^2 + a^2}} \\ &=&0 \end{eqnarray}$ Поставив

a / R

$a/R$ в квадратный корень.

Чтобы записать разложение по мультиполям, достаточно записать разложение Тейлора потенциала вокруг $1/r$ , с $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ . Это дает, что любое выражение вида:

\underset{р \to \infty}{лим} \frac{1}{\sqrt{р^{2} + б}} "=" \frac{1}{р} - \frac{б}{2 р^{3}} + \frac{3 б^{2}}{8 р^{5}} + \dots

$\lim_{r\to\infty}\frac{1}{\sqrt{r^2+b}}= \frac{1}{r} - \frac{b}{2r^3} + \frac{3b^2}{8r^5} + \cdots$ Затем вы можете использовать это расширение для компонентов потенциала, чтобы получить результат.

О стоимости изображения для шара? Куда бы я его положил? В начале шара или на расстоянии Ra от поверхности шара? R — расстояние до заряда от точки происхождения.
@RafaFafa Как указано в ссылке в моем ответе, заряд изображения для сферы лежит на линии, соединяющей заряд и центр сферы, на другой стороне сферы.
Спасибо за Ваш ответ. Думаю, я могу представить конфигурацию заряда. Не могли бы вы посмотреть на мою правку и сказать мне, правильно ли это? И у меня проблемы с мультипольным разложением на (2) и (3). Из подраздела о квадруполях в Википедии я вижу, что это каким-то образом сумма всех мультиполей, чтобы получить потенциал конкретной конфигурации. Это означает, что я должен просто вычислить монопольный, дипольный и квадрупольный моменты?
Итак, я в основном подставляю знаменатели каждого заряда (расстояния от начала координат до каждого заряда)? $\frac{1}{r}$ является монопольным термином, $\frac{b}{2r^3}$ дипольный термин и так далее? Что такое б в этом случае? Я пытался сделать это в соответствии с этим en.wikipedia.org/wiki/… . Будет ли тогда b фактором для каждого соответствующего члена 1/r?
@RafaFafa - да. $b$ любые термины, которые у вас есть в дополнение к $r^2$ . Также обратите внимание, что, как и ожидалось, монопольный член оказывается равным нулю.
Хорошо, по какой-то причине мой дипольный момент тоже равен нулю. Это верно? Обратите внимание, что я не использовал векторную запись с формулой, а просто использовал абсолютные значения расстояний зарядов до начала координат, что означает $a^2/R$ и Р. Что касается квадруполемента, то я потерялся. Я еще не полностью привык к термину Кронекер Дельта, и все индексы меня немного смущают. Почему суммирование по i и нет отдельного суммирования по k и l.
@RafaFafa - пожалуйста, примите ответ и добавьте новый вопрос, касающийся ваших дополнительных вопросов.

Метод имиджевых зарядов (полусфера на металле)

Рафа Фафа

Ответы (1)

нбубис

Рафа Фафа

нбубис

нбубис

Рафа Фафа

нбубис

Рафа Фафа

нбубис

Рафа Фафа

нбубис

Понимание интеграла электрического дипольного момента распределения заряда

Электрический потенциал - Батыгин, книга Топтыгина

Вычислите распределение заряда при заданном потенциале xy)+tan−1⁡(1−xy))\Phi(x,y) = 2(\tan^{-1}(\frac{1+x}{y}) + \tan^{-1} (\ frac{1-x}{y})) [закрыто]

(Производящая функция Лежандра) Внеосевой электрический потенциал от изолированного диска

Разность потенциалов между точкой на поверхности и точкой на оси равномерно заряженного цилиндра

Потенциал, создаваемый полой сферой с отверстием

Изменение потенциальной электрической энергии после того, как сфера разделится на две части.

Нахождение энергии, запасенной в сферической оболочке, но интеграл расходится

Определен ли связанный заряд на бесконечности?

Уточнение мультипольного разложения для точечного заряда