Физическое объяснение некоторого свойства уравнения теплопроводности? [закрыто]

Question

Физическое объяснение некоторого свойства уравнения теплопроводности? [закрыто]

lanse7pty

Когда я вычислил уравнение теплопроводности, я обнаружил, что общее количество теплоты не меняется, оно такое же, как и в нашем реальном мире. Но, насколько я знаю, уравнение теплопроводности находится в соответствии со способом теплопроводности. Почему режим распространения тепла содержит сохранение тепла?

Ниже мой расчет, я предполагаю $\Omega$ является компактным многообразием без края, это означает $\partial\Omega=\varnothing$

{\begin{aligned} {ты}_{т} "=" Δ ты в Ом \times (0, Т] \\ ты (Икс, 0) "=" {ты}_{0} \end{aligned}

$\left\{ \begin{aligned} & u_t=\Delta u \text{ in $\Omega\times (0,T]$} \\ & u(x,0)=u_0 \end{aligned} \right.$ Тогда брутто тепла

г_{час е а т} "=" \int_{Ом} ты г В

$G_{heat}=\int_\Omega u dV$ Затем покажите

G_{h e a t}

$G_{heat}$ не меняй время в одиночестве

\begin{aligned} \frac{г г_{час е а т}}{г т} & "=" \int_{Ом} \frac{г ты}{г т} г В \\ "=" \int_{Ом} Δ ты г В \\ "=" \int_{\partial Ом} \frac{\partial ты}{\partial \vec{н}} г В \\ "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{dG_{heat}}{dt} &=\int_\Omega \frac{du}{dt}dV \\ &=\int_\Omega\Delta u dV \\ &=\int_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial\overrightarrow n}dV \\ &=0 \end{align}$ Так,

G_{h e a t}

$G_{heat}$ не меняйте только время. Это означает сохранение тепла. Почему режим распространения тепла содержит сохранение тепла? Мне нужно физическое объяснение, как локальное поведение определяет глобальное поведение?

Я просто мастер математики, и мой английский плохой, поэтому я не знаю, правильно ли я описываю свой вопрос. Если нет, приветствую любое редактирование или совет.

пользователь83548

Я не понимаю тебя, последняя личность, не так ли?

\int_{Ω} Δ u d V = \int_{\partial Ω} \nabla u . \vec{n} d S

$\int_\Omega\Delta u dV=\int_{\partial\Omega} \nabla u . \vec{n} dS$ ?

любопытный разум

Глядя на статью в Википедии, вы бы сказали, что «уравнение теплопроводности получено из закона Фурье и закона сохранения энергии» . Итак... вы спрашиваете, почему уравнение, полученное из закона сохранения энергии, сохраняет энергию?

пользователь83548

@ACuriousMind, но у вас могут быть источники тепла и поглотители. Разве они не представлены в граничных условиях? например, если у вас есть горячая точка в центре (я мог вспомнить это неправильно, и я не мог понять это, выполняя быстрый поиск)

любопытный разум

@brucesmitherson: обратите внимание, что вопрос предполагает

Ω

$\Omega$ является «компактным многообразием без края», поэтому

\partial Ω

$\partial \Omega$ пуст, и поэтому все источники и стоки уравновешиваются внутри

Ω

$\Omega$ , так как из него не может быть чистого потока.

Ответы (1)

Физическое объяснение некоторого свойства уравнения теплопроводности? [закрыто]

Я не понимаю тебя, последняя личность, не так ли? $\int_\Omega\Delta u dV=\int_{\partial\Omega} \nabla u . \vec{n} dS$ ?
Глядя на статью в Википедии, вы бы сказали, что «уравнение теплопроводности получено из закона Фурье и закона сохранения энергии» . Итак... вы спрашиваете, почему уравнение, полученное из закона сохранения энергии, сохраняет энергию?
@ACuriousMind, но у вас могут быть источники тепла и поглотители. Разве они не представлены в граничных условиях? например, если у вас есть горячая точка в центре (я мог вспомнить это неправильно, и я не мог понять это, выполняя быстрый поиск)
@brucesmitherson: обратите внимание, что вопрос предполагает $\Omega$ является «компактным многообразием без края», поэтому $\partial \Omega$ пуст, и поэтому все источники и стоки уравновешиваются внутри $\Omega$ , так как из него не может быть чистого потока.

пользователь1476176 · Answer 1

Краткое замечание по терминологии: в термодинамике тепло связано с передачей энергии ; родственное свойство, связанное с состоянием системы, называется энергией. Лучшее название для «валовой теплоты» было бы «полная энергия» системы.

Как отмечают комментаторы, уравнение теплопроводности выводится из Первого закона термодинамики. Более прямым способом доказательства сохранения полной энергии является применение первого закона термодинамики к системе, определяемой многообразием. $\Omega$ :

\frac{г}{г т} U_{Ом} "=" \dot{Вопрос} - п \frac{г}{г т} В + {\dot{Вт}}_{другой}

$\frac{\text{d}}{\text{d}t} U_\Omega = \dot{Q} - P \frac{\text{d}}{\text{d}t} V + \dot{W}_\text{other}$ Где

$\frac{\text{d}}{\text{d}t} U_\Omega$ скорость изменения полной внутренней энергии системы
$\dot{Q}$ - скорость теплопередачи через границу, которая равна нулю, поскольку границы нет
$-P\frac{\text{d}}{\text{d}t}V$ это граничная работа, связанная с расширением/сжатием системы
$\dot{W}$ это скорость, с которой работа пересекает границу из-за других эффектов (например, электричества), которая снова равна нулю, поскольку границы нет

Если объем $\Omega$ постоянна, то граничная работа равна нулю и, следовательно, полная внутренняя энергия системы постоянна.

Чтобы вернуться к исходному вопросу, если вы примените первый закон термодинамики к системе, в которой происходит только проводимость, замените закон проводимости Фурье , а также предположите, что $u$ линейно связано с $T$ , то результат принимает форму уравнения теплопроводности. Вот почему уравнение теплопроводности называется «уравнением теплопроводности». Как упоминалось в комментариях, уравнение теплопроводности сохраняет энергию, потому что уравнения, из которых оно получено, сохраняют энергию .

Если вы предпочитаете более физический ход рассуждений, уравнение теплопроводности представляет только эффекты теплопроводности. При проводимости энергия течет от высокой температуры к низкой температуре, но общее количество сохраняется. Проводимость сохраняет энергию, поэтому отсюда следует, что уравнение теплопроводности сохраняет энергию.

Большое спасибо. Есть ли какая-нибудь книга по термодинамике, интересная и подходящая для изучающих математику?

Физическое объяснение некоторого свойства уравнения теплопроводности? [закрыто]

lanse7pty

пользователь83548

любопытный разум

пользователь83548

любопытный разум

Ответы (1)

пользователь1476176

lanse7pty

Рекомендации к книге по статистической механике

Разделение переменных в различных УЧП, физический смысл

В чем математический смысл следующего выражения C=δQdTC=δQdTC=\frac{\delta Q}{dT}?

Точечная температура и термодинамическая температура

Как именно формализм термодинамики основан на контактной геометрии?

Распределение Максвелла-Больцмана: переход от импульса к энергии

Энтропия, поток информации и фундаментальные теории

Каковы последствия для программы AdS/Cft, если AdS нестабильна?

В газе частиц, как вектор смещения связан с числовой плотностью?

Доказывает ли теорема о флуктуациях второй закон термодинамики?