В чем разница между термодинамической свободной энергией и свободной энергией Ландау?

Свободная энергия Ландау, также называемая гамильтонианом Ландау-Гинзбурга, во многих учебниках рассматривается случайным и довольно запутанным образом. Но с современной точки зрения он имеет простую интерпретацию как эффективный гамильтониан, полученный путем интегрирования степеней свободы.

Предположим, у нас есть спиновая система, такая как магнит Изинга. Мы можем описать состояние системы полем намагниченности$\phi(x)$, отметив, что это поле не имеет смысла, если мы исследуем масштабы длины, меньшие, чем шаг решетки$a$. Мы можем записать сумму по всем спиновым состояниям с помощью интеграла по конфигурациям поля, если интеграл обрывается на шкале расстояний$a$.

Если гамильтониан$H[\phi]$, то термодинамическая свободная энергия$F$подчиняется

$$Z = e^{-\beta F} = \int_{\Delta x\, >\, a} \mathcal{D}\phi \, e^{-\beta H[\phi]}$$ что является просто переформулировкой стандартной идентичности$F = - k_B T \log Z$. С точки зрения Вильсона термодинамическая свободная энергия получается путем интегрирования всех микроскопических степеней свободы. Результат зависит только от макроскопических величин, таких как температура, давление и внешнее поле. Это полезно, потому что весь смысл термодинамики состоит в том, чтобы игнорировать микроскопические детали и сосредоточиться на макроскопических величинах, которые легко измерить. Например, используя только функцию$F$, мы можем определить равновесную намагниченность, минимизируя ее.

Теперь свободная энергия Ландау$H_L$удовлетворяет

$$Z = \int_{\Delta x \, > \, b} \mathcal{D}\phi \, e^{-\beta H_L[\phi]}$$ где$b$представляет собой мезоскопическую шкалу расстояний, превышающую$a$но все же намного меньше макроскопической длины. С точки зрения Вильсона свободная энергия Ландау - это эффективный гамильтониан, полученный путем интегрирования степеней свободы на шкалах длин.$a < x < b$. Суть свободной энергии Ландау в том, что она представляет собой компромисс между совершенно микроскопическим$H$, который имеет слишком много деталей, чтобы быть полезным, и полностью макроскопический$F$, что ничего не говорит нам, например, о зависимости от позиции. Нравиться$H$,$H_L$является функционалом, но это функционал «меньшего количества переменных».

Вышеизложенное объясняет, почему$H_L$можно назвать гамильтонианом, но почему его также называют свободной энергией? Обычно отправной точкой для применения теории Ландау является приближение седловой точки, которое утверждает, что типичные конфигурации равновесного поля минимизируют$H_L$. Поскольку мы сводим к минимуму$H_L$, мы относимся к ней так же, как к свободной энергии, поэтому ее иногда называют свободной энергией Ландау.

Но почему это справедливо? Вы определенно не сможете получить правильный ответ на любой термодинамический вопрос, сводя к минимуму$H$, так как не учитывает тепловые эффекты; вместо этого вы должны свести к минимуму$F$. Сведение к минимуму$H_L$дает правильный ответ именно тогда, когда тепловыми эффектами можно пренебречь на масштабах расстояний больше чем $b$. Это верно, когда$b$намного больше, чем корреляционная длина системы$\xi$, вот почему теория Ландау работает так хорошо и обычно неверна в критической точке, где$\xi$расходится, поэтому теория Ландау не может описать непрерывные фазовые переходы.