Существует ли физическая интерпретация тензора как вектора с дополнительными свойствами?

Я думаю, что на базовом уровне безопаснее думать о тензоре как о функции, которая принимает$n$векторов и выдает число, и в каждом из своих аргументов удовлетворяет:

где$a,b$числа, и${\vec v}, {\vec w}$являются векторами, а остальные аргументы$T$подавляются. Конечно, есть дополнительные детали (об одноформах, градиентах и ​​преобразовании координат), но это основная идея.

Математики моделируют идеи и изучают их свойства. В математике векторное пространство моделирует набор вещей, которые ведут себя как маленькие стрелки при сложении и умножении на числа.

Математическое определение векторного пространства — это набор с операцией сложения и операцией умножения на число, которая следует 8 правилам. Все, что соответствует этому определению, представляет интерес для математиков. Например, множество непрерывных функций на отрезке [0,1] является векторным пространством.

Математики обнаруживают, что каждое векторное пространство имеет по крайней мере один базис. Все базы данного векторного пространства имеют одинаковое количество векторов. Это число называется размерностью.

Поскольку тензорное пространство соответствует определению векторного пространства, оно является векторным пространством.

Физики часто обнаруживают, что математики изобретают полезные инструменты. Но физики заинтересованы в моделировании поведения Вселенной. Они используют инструменты иначе, чем математики. Например, их часто меньше интересует математическая строгость.

По большей части физики используют векторы для моделирования таких вещей, как пространство или импульс. Они считают, что векторы полезны, если они имеют норму (или метрику, или длину) и все компоненты являются величинами одного вида. Направление вперед — космос. Сбоку - космос.

Если все компоненты одинаковы, вы можете изменить основу и по-прежнему использовать векторное пространство для моделирования юниверса. Если я смотрю вперед, а вы на 45 градусов вправо, мы оба можем использовать$F = ma$.

Из-за этого физиков очень интересует, как трансформируются векторы при изменении базиса.

И здесь тензоры различаются. Тензоры ранга 2 преобразуются иначе, чем тензоры ранга 1. Поэтому для физиков это разные объекты.

Кстати, обратите внимание, что в теории относительности один из компонентов отличается от других. Физики определили полезную, но не совсем кошерную метрику. Они обнаружили, что при изменении базиса вы получаете полезную модель Вселенной с точки зрения наблюдателя с другой скоростью.

Кроме того, математики считали бы фазовое пространство статистической механики векторным пространством. Но физиков мало волнуют векторные свойства фазового пространства. Они не добавляют векторы и не меняют базис. Они просто следуют траектории точки по мере развития системы.

Если вам нужны антисимметричные тензоры, есть хорошо известные геометрические строительные блоки. Например, если вы возьмете два ортогональных вектора, вы можете перемножить их, чтобы получить ориентированную плоскость, которую они охватывают (с ориентацией, определяемой порядком, в котором вы их умножали). Точно так же для трех взаимно ортогональных векторов, обратите внимание, что существует 6 способов их умножения, но поскольку они попарно антикоммутируют, существует только две ориентации. В$n$-мерное пространство, которое у вас может быть столько, сколько$n$взаимно ортогональные векторы, поэтому имеют ранг$n$объект.

Теперь, если вы хотите рассмотреть возможность добавления этих антисимметричных элементов более высокого ранга, вы можете настоять на том, чтобы сложение распределялось по умножению. И теперь вам нужно сделать выбор: либо предположить, что все векторы антикоммутируют (не только ортогональные), либо использовать$\wedge$для символа умножения и получить алгебру Грассмана. Или вы предполагаете, что вектор, умноженный сам на себя, дает его длину в квадрате, и вы получаете алгебру Клиффорда.

Но на самом деле, я солгал о том, что мне нужно сделать выбор, так как мы использовали$\wedge$для обозначения антисимметричного произведения векторов мы можем иметь оба произведения, поскольку они определены на одном и том же (линейные комбинации произведений ортогональных векторов). Таким образом, мы можем получить произведение алгебры Грассмана и произведение алгебры Клиффорда и назвать его геометрической алгеброй. Базовыми строительными блоками являются произведения ортогональных векторов, которые представляют собой мало ориентированные 1-объемы, 2-объемы, 3-объемы, ... или$n$-объемы. Все остальное является их линейной комбинацией.

Однако тензоры включают в себя симметричные тензоры, так что это не дает вам эти тензоры как геометрические объекты. Поэтому вам, возможно, придется думать о полном пространстве тензоров как о полилинейных функциях векторов.

Знакомя студентов-инженеров с тензором напряжений, я отмечаю, что если тело деформируется в напряженном состоянии и мы представляем его разрезаемым плоскостью, то существует вектор (силы), действующий поперек (но не по нормали) к плоскости . Для полного задания напряженного состояния необходимо разрезать тело тремя плоскостями, каждая из которых может быть задана своим вектором нормали. Таким образом, напряжение — это то, что имеет компонентный вектор, связанный с каждым направлением в пространстве. Это «что-то» является тензором (2-го порядка).

Суммируя:

... вектор имеет скалярную составляющую (из-за отсутствия лучшего слова) в каждом направлении в пространстве

... тензор (2-го порядка) имеет вектор компонентов, связанный с каждым направлением в пространстве

В качестве альтернативы:

...у вектора есть величина и направление

... тензор имеет величину (ы) и два направления (одно для вектора компонента и одно для плоскости).

Я считаю, что это дает лучшую физическую картину, чем математические «нечто, что преобразуется в соответствии с...» или «отображение между…». Я делаю это позже.

Существует ли физическая интерпретация тензора

С геометрической точки зрения и принимая во внимание двойственность между (1, 2, 3...)-формами и (1, 2, 3...)-векторами, обратите внимание, что одноформенный (ранг 1 ковариант тензор) можно изобразить как ряд поверхностей, которые дают число при свертывании с вектором; число представляет собой количество поверхностей, пронизанных вектором.

Обобщая на более высокие ранги, двойную форму можно изобразить как «сотовую» структуру, которая дает число при сжатии с поверхностью с ощущением циркуляции; число представляет собой количество трубок, пронизывающих поверхность.

Трехформу можно изобразить как структуру, подобную «яйцо-ящику», которая дает число при сжатии с объемом; число представляет собой количество ячеек в объеме.

Это по существу изложено на страницах 115-117 МТЗ " Гравитация ". Например:

Тензоры — это класс объектов, который включает в себя как скаляры, так и векторы.

Существуют тензоры ранга$n$объекты, обладающие как величиной, так и$n$ортогональные направления, состоящие из$3^n$компоненты. Примеры этого включают сам вектор, диаду (состоящую из векторов) или триаду (состоящую из диад), тетраду...

Физически тензор — это просто набор векторов, которые физики изучают как единый объект, потому что векторы связаны друг с другом физически «интересным» образом.

Тензоры не обладают дополнительными свойствами к идеям величины и ориентации вектора; все, что можно сделать, это сопоставить вектор с определенным расположением векторов определенных тензоров.