Покажите, что параллельная транспортировка не меняет угол между ними. Тензоры [закрыто]

Question

Покажите, что параллельная транспортировка не меняет угол между ними. Тензоры [закрыто]

Рошан Шреста

Должен вам сказать, что я никогда не видел такого рода вопросов в тензорном анализе. Наш профессор поставил этот вопрос на нашем экзамене, но я не знаю, относится ли он к тензорам или нет. Вопрос звучит так:

1. Если вектор $u^{i}$ параллельно транспортируется по кривой S, то
${ты}^{я}_{; Дж} \frac{г {Икс}^{Дж}}{г С} "=" 0.$ $u^{i}{}_{; j}~ \frac{dX^{j}}{dS}~=~0.$ 2. Если угол между $u^{i}$ и $v^{j}$ является $\theta$ , покажите, что параллельный перенос не меняет угол между ними.

Любопытный Разум

Ваши обозначения мне кажутся немного нестандартными, особенно часть с

d X / d S

$\mathrm{d}X/\mathrm{d}S$ . Это векторное поле? Пожалуйста, уточните немного свой вопрос.

Рошан Шреста

Это действительно было проблемой и для меня, прежде всего, есть ли какие-либо ошибки в моем вопросе... Даже я изо всех сил пытаюсь понять вопрос.

Любопытный Разум

Кроме того, в отношении какого соединения мы осуществляем параллельный транспорт (естественно, Леви-Чивита приходит на ум)?

Рошан Шреста

Я хочу перефразировать этот вопрос так: Показать, что угол между двумя векторами остается неизменным или не изменяется при параллельном перемещении параллельного переноса.

Ответы (1)

Покажите, что параллельная транспортировка не меняет угол между ними. Тензоры [закрыто]

Ваши обозначения мне кажутся немного нестандартными, особенно часть с $\mathrm{d}X/\mathrm{d}S$ . Это векторное поле? Пожалуйста, уточните немного свой вопрос.
Это действительно было проблемой и для меня, прежде всего, есть ли какие-либо ошибки в моем вопросе... Даже я изо всех сил пытаюсь понять вопрос.
Кроме того, в отношении какого соединения мы осуществляем параллельный транспорт (естественно, Леви-Чивита приходит на ум)?
Я хочу перефразировать этот вопрос так: Показать, что угол между двумя векторами остается неизменным или не изменяется при параллельном перемещении параллельного переноса.

auxsvr · Answer 1

Вектор $u^a$ параллельно переносится вдоль интегральной кривой касательного вектора $V^a \equiv \frac{dX^a}{d s}$ если мы имеем $V^a\nabla_a u^b =0$ (вектор, перенесенный параллельно самому себе, определяет геодезическую). Угол между двумя векторами $v^a$ и $u^a$ дан кем-то $\cos\theta = \frac{v^a u_a}{\sqrt{v^av_a u^bu_b}}$ , поэтому принимаем:

В^{а} \nabla_{а} ({ты}^{б} в_{б}) "=" в_{б} В^{а} \nabla_{а} {ты}^{б} + В^{а} {ты}^{б} \nabla в_{б} "=" 0,

$V^a \nabla_a (u^b v_b) = v_bV^a \nabla_a u^b+ V^a u^b \nabla v_b = 0,$ поскольку векторы

v^{a}

$v^a$ и

u^{a}

$u^a$ транспортируются параллельно относительно

V^{a}

$V^a$ . С

V^{a} \nabla_{a} (u^{b} u_{b}) = 0

$V^a \nabla_a (u^b u_b) = 0$ по той же причине,

θ

$\theta$ остается постоянным вдоль интегральной кривой

V^{a}

$V^a$ .

Извините, но я почти потерялся в используемых здесь символах, не могли бы вы предоставить мне ссылки или ссылки для дальнейшего изучения самостоятельно.
я использую $\nabla_a$ вместо ${}_{;a}$ и $s$ является аффинным параметром $X^a$ .
Спасибо, любые ссылки или ссылки для дальнейшего изучения, так как я не изучаю GR и хочу искренне узнать об этом с основ, хотя у меня есть хорошие знания о тензорах, ну, по крайней мере, на базовом уровне.
Если вы используете Google, вы найдете много конспектов лекций по ОТО, но они требуют понимания исчисления, линейной алгебры, механики, дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений и т. д.

Покажите, что параллельная транспортировка не меняет угол между ними. Тензоры [закрыто]

Рошан Шреста

Любопытный Разум

Рошан Шреста

Любопытный Разум

Рошан Шреста

Ответы (1)

auxsvr

Рошан Шреста

auxsvr

Рошан Шреста

auxsvr

Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?

В каком контексте определяется это понятие вектора?

Вопрос от Шутца

Существует ли физическая интерпретация тензора как вектора с дополнительными свойствами?

Вывод тензора Вейля

Разница между тензорным произведением, скалярным произведением и действием двойного вектора на вектор

Как может набор компонентов не составить вектор?

Ковариантная и контравариантная компоненты вектора в криволинейной системе координат

Тензор Киллинга и тождество тензора Римана

Является ли частная производная вектором или двойственным вектором?