В какой степени общая теория относительности является калибровочной теорией?

Рассмотрим калибровочную теорию с калибровочной группой$GL(n,R)$.

Прежде всего, напомню основы калибровочных преобразований:

Позволять$G$быть калибровочной группой,$g(x)∈ G$быть элементом$G$. Затем:

$\psi (x)→g(x)\psi (x)$

$A_\alpha→g(x)A_\alpha g^{-1}(x)-\frac{∂g(x)}{∂x^{\alpha}}g^{-1}(x)$

является калибровочным преобразованием, а ковариантная производная определяется как

${\nabla}_{\alpha}\psi = \frac{∂\psi}{∂x^{\alpha}}+A_\alpha \psi$

Теперь рассмотрим координаты$(x^1, ..., x^n)$в регионе$U$. Они определяют основу пространства векторов$\frac{∂}{∂x^1},...,\frac{∂}{∂x^n}$. Итак, касательные векторные поля в области$U$можно рассматривать как вектор-функции:$\xi = (\xi^1,...,\xi^n)$. Изменение координат в$U$:$x^{\nu}→x^{{\nu^{\prime}}}=x^{{\nu^{\prime}}}(x)$определяет локальное преобразование:

$\xi^\nu→\xi^{\nu^\prime} = \frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\xi^\nu = g(x)\xi$.

Здесь матрица$g(x) = (\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu})$принадлежит$GL(n,R)$, а обратная матрица имеет вид$g^{-1}(x)=(\frac{∂x^\nu}{∂x^{\nu^\prime}})$.

Алгебра Ли$GL(n,R)$образован всеми матрицами степени$n$, поэтому "калибровочное поле"$A_\mu (x)$также является матрицей степени$n$. Обозначим его элементы следующим образом:

$(A_\mu)^{\nu}_{\lambda}=\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}$.

Ковариантная производная вектора$\xi$читается следующим образом:

$(\nabla_{\mu}\xi)^\nu=\frac{∂\xi^\nu}{∂x^\mu}+\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}\xi^\lambda ↔ \nabla_\mu \xi=\frac{∂\xi}{∂x^\mu}+A_\mu \xi$(правая часть в матричной форме!)

Остается проверить только одно, а именно вид преобразования калибровочного поля.

Используя общее правило преобразования калибровочного поля, получаем:

$\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}→\Gamma^{\nu^\prime}_{\lambda^\prime \mu}=\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}\frac{∂x^\lambda}{∂x^{\lambda^\prime}}+\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\frac{∂}{∂x^\mu}(\frac{∂x^\nu}{∂x^{\lambda^\prime}})$.

С$A_\mu$является ковариантным вектором, то$A_{\mu^\prime}=\frac{∂x^\mu}{∂x^{\mu^\prime}}A_\mu$. Отсюда получаем:

$\Gamma^{\nu^\prime}_{\lambda^\prime \mu^\prime}=\frac{∂x^\mu}{∂x^{\mu^\prime}}\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}\frac{∂x^\lambda}{∂x^{\lambda^\prime}}+\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\frac{∂^2 x^\nu}{∂x^{\lambda^\prime}∂x^{\mu^\prime}}$.

КЭД

И последнее замечание: коммутатор двух ковариантных производных приводит к выражению тензора Римана:

$(F_{\mu\nu})^\rho_\lambda = R^\rho_{\lambda ,\mu\nu}$

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Уважаемый Оаоа,

Я не специалист по GR, поэтому то, что я написал ниже, может быть неверным.

Мой первый совет таков: не читайте Ландау, который смешивает два основных понятия: связь и метрику.

Вместо этого я рекомендую вам прочитать «Структура пространства-времени» Эрвина Шредингера.

Чтобы ответить на ваш вопрос, давайте сначала разделим роли соединения и метрики.

1. Соединение используется для параллельного транспорта и позволяет сравнивать два вектора в разных точках. Важным следствием является то, что с помощью связи можно ввести тензор кривизны (который в дальнейшем можно сжать до скаляра кривизны ). Кривизна появляется, когда вы переносите вектор по замкнутой кривой, а затем сравниваете с исходным вектором. Затем скаляр кривизны используется для построения «действия поля», как и во всех калибровочных теориях.

Как показано в книге Шредингера, связь также может быть использована для измерения расстояния по геодезической линии (стоит отметить, что выражение для такой «меры» очень похоже на выражение фейнмановского интеграла по траекториям!). Но вообще соединение нельзя использовать для измерения расстояний между произвольными точками.

1. Введена метрика для измерения расстояний между произвольными точками и определения векторных произведений.

2. Соединение и Метрика — это независимые понятия. Только дополнительное условие их непротиворечивости (т.е. когда вы требуете, чтобы векторное произведение было инвариантным при параллельной транспортировке обоих векторов) позволяет выразить связь через метрический тензор .

Теперь вернемся к вашему вопросу. Все, о чем написано$GL(n,R)$выше относится только к подключению . Во-первых, он позволяет выразить «действие поля» через скалярную кривизну. Но то, что вас больше всего интересует, вероятно, не это, а законы сохранения, связанные с полями материи. В теории с функциями точечных частиц$\xi$(или же$\psi$) можно связать с векторами$\frac{dx^\nu}{ds}$. Я не уверен, но последующий закон сохранения, вероятно, является законом сохранения энергии-импульса. Думаю, то же самое и в специальной теории относительности, где пространство плоское и все связи равны нулю, но косвенно сохранение энергии-импульса в СТО может быть следствием «сохранения» нулевой кривизны преобразованиями Лоренца (обратите внимание, что однородность пространства -время означает нулевую кривизну). Я знаю, что вы ожидаете увидеть некоторые другие сохраняющиеся величины, подобные сохранению «электрического заряда» в теории электрона Дирака. Но обратите внимание, что в теории Дирака «глобальное» сохранение «заряда» практически неотличимо от сохранения энергии-импульса. Насчет локальных теорий – не знаю, нужно рассматривать конкретную модель.

ОТО имеет некоторое формальное сходство с калибровочной теорией Янга-Миллса. Но это не совсем то же самое.

Мы формулируем YM в терминах калибровочных полей, AKA, связностей на G-расслоениях на нашем многообразии. Мы также используем связность, когда формулируем ОТО, связность Леви-Чивиты на касательном расслоении нашего пространства-времени, которая определяется метрикой и некоторыми предположениями (метрика ковариантно постоянна, без кручения). Но метрика — это более фундаментальная степень свободы, и ничего подобного в теории ЮМ нет. (Вы можете выполнить функциональное интегрирование в пространстве полей YM с достаточной математической строгостью, чтобы удовлетворить большинство физиков, но в 4d это невозможно сделать с помощью метрик.)

Еще одно сходство: наблюдаемые в теории ЯМ являются инвариантами группы калибровочных преобразований. Точно так же в ОТО истинные наблюдаемые обычно считаются инвариантными относительно группы пространственно-временных диффеоморфизмов (но это не то же самое, что группа калибровочных преобразований для касательного расслоения). Эти наблюдаемые обычно не являются локальными наблюдаемыми, такими как кривизна в точке, а представляют собой более сложное выражение, построенное из локальных наблюдаемых, таких как среднее значение кривизны по пространству-времени. Это также контрастирует с теорией Янга-Миллса, где существует множество локальных наблюдаемых величин, таких как плотность энергии поля YM в точке.

Общая тема состоит в том, что мы должны ввести странные вспомогательные нефизические переменные в обе теории, чтобы проявить локальность и лоренц-инвариантность; затем физические наблюдаемые получаются, забывая избыточную информацию.

Точный смысл, в котором общая теория относительности является калибровочной теорией, был известен (но, по-видимому, в значительной степени игнорировался) на протяжении десятилетий. Первоисточниками того, что я обобщаю ниже, является серия статей Анджея Траутмана , в частности «Расслоения волокон, связанные с пространством-временем» , «О калибровочных преобразованиях и симметриях» и «Расслоения волокон, калибровочные поля и гравитация» . . Этот ответ будет немного длинным, так как он перефразирует основные части теории связок, необходимые для того, чтобы получить хотя бы представление о том, что мы делаем. Итог такой:

И теории Янга-Миллса, и общая теория относительности являются «калибровочными теориями», если мы возьмем идею калибровочной теории, в которой некоторое расслоение — структура «над пространством-временем» — имеет преобразования, и некоторые из этих преобразований могут сохранить интересующую нас физику. Теории Янга-Миллса — это случаи, когда эти преобразования аккуратно расщепляются на конечномерное «пространство-время» и бесконечномерные «внутренние» симметрии, в то время как общая теория относительности порождает бесконечномерное пространство-время и отсутствие внутренних симметрий. Это отсутствие внутренних симметрий — обычно рассматриваемое как отличительная черта «калибровочных теорий» — объясняет, почему существует много утверждений о том, что общая теория относительности «не является калибровочной теорией»:

В любом случае, наше общее понятие калибровочной теории, которое будет охватывать как теории типа Янга-Миллса, так и ОТО, — это понятие$G$- основной пакет $\pi : P\to M$над нашим пространством-временем$M$на котором имеем связь 1-форма $\omega$.$\omega$спускается для графиков$\phi_i : U_i \to M$в течение которого$P$тривиально для$\mathfrak{g}$-значные 1-формы$\omega_i$на$M$, эти$\omega_i$это то, что мы обычно называем «калибровочным полем». У нас есть$\omega_i = (\omega_i)_\mu^a T^a\mathrm{d}x^\mu$за$T^a$набор генераторов для группы,$(\omega_i)_\mu^a$– коэффициенты связи. В случае теории Янга-Миллса мы обычно записываем их как$A_\mu^a$и назовем их калибровочным полем или калибровочным потенциалом.

Группа калибровочных преобразований$\mathscr{G}$это группа всех автоморфизмов расслоения$P\to P$(эту полную группу мы будем просто писать как$\mathrm{Aut}(P)$), которые дополнительно сохраняют «фундаментальные структуры» нашей теории. Диффеоморфизм$f : P\to P$является расслоенным автоморфизмом, если существует диффеоморфизм базы$\bar{f} : M \to M$такой, что$\pi\circ f = \bar{f}\circ \pi$. Вертикальное или чисто калибровочное преобразование$g : P\to P$тот, который сохраняет волокна$\pi\circ g = \pi$, т. е. действует только во «внутреннем пространстве» калибровочной теории. Назовем группу чисто калибровочных преобразований$\mathscr{G}_0$. Обычно бывает так, что$\mathscr{G_0}$соединяет «физически эквивалентные» конфигурации, а$\mathscr{G}/\mathscr{G}_0$своего рода пространственно-временная симметрия. Заметим, что по определению автоморфизма расслоения у нас есть отображение$\bar{} : \mathscr{G}\to \mathrm{Diff}(M)$, и два калибровочных преобразования, которые отличаются только чисто калибровочным преобразованием, имеют один и тот же образ при этом отображении, поэтому мы можем думать о$\mathscr{G}/\mathscr{G}_0\subset \mathrm{Diff}(M)$.

Например, для теории типа Янга-Миллса существенной структурой, которую необходимо сохранить, является лагранжиан Янга-Миллса.$\mathrm{tr}(F\wedge{\star}F)$, куда$F = \mathrm{d}_\omega \omega$это кривизна, связанная с соединением$\omega$. Все вертикальные преобразования сохраняют это, поскольку след инвариантен относительно действия калибровочной группы, поэтому$\mathscr{G}_0$просто все гладкие функции$g : P\to G$, находящиеся в биекции с локальными калибровочными преобразованиями$g_i : U_i\to G$для упрощения патчей$U_i$. Звезда Ходжа$\star$включает метрику основного пространства, поэтому$\mathscr{G}/\mathscr{G_0}$это просто изометрия$M$связано с личностью. ¹ Для случая$M=\mathbb{R}^{3,1}$и банальный пучок$M\times G$, у нас есть$\mathscr{G} = \mathscr{G}_0 \ltimes \mathrm{P}_0(3,1)$, куда$\mathrm{P}_0$является компонентой единицы группы Пуанкаре.

В общей теории относительности метрика базового пространства является динамической, и поэтому нам не нужно ничего сохранять. Это отличает теорию с самого начала, так как на самом деле кажется, что ничто не ограничивает$\mathscr{G}/\mathscr{G}_0$. Кроме того, основной пучок$P$в общей теории относительности это расслоение фреймов $FM$, который представляет собой пучок всех возможных вариантов базисов для касательных пространств$M$. То есть точка в$FM$дан кем-то$(x,v)$, куда$x\in M$а также$v$является основой$T_x M$. Мы можем думать о данных, необходимых для базиса, в терминах линейного изоморфизма$v : \mathbb{R}^{\mathrm{dim}(M)}\to T_x M$, либо как образы стандартного базиса$e_i$из$\mathbb{R}^n$,$v_i := v(e_i)$. В любом случае пучок кадров представляет собой$\mathrm{GL}(n)$-основной пучок более$M$которое наследует свою структуру расслоения от касательного расслоения: если$\phi_i : \pi_T^{-1}(U_i) \to U_i\times\mathbb{R}^n$являются тривиализацией касательного расслоения, то$F(\phi_i) : \pi_F^{-1}(U_i) \to U_i\times\mathrm{GL}(n), (x,v)\mapsto (x,\phi_{i,x}\circ v)$является тривиализацией расслоения фреймов. Существуют естественные координаты расслоения реперов, индуцированного картой координат$M$, что означает, что мы часто не очень ценим, когда объект находится в связке фреймов, а не на$M$сам. ²

Поскольку мы определили$FM$через касательное расслоение$TM$, он "привязан" к$TM$и поэтому$M$сам по себе таким образом, что общий основной пакет не является. Мы говорим, что он припаян к$M$, и эта пайка выражается формой припоя $\theta_{(x,v)}(X) = v^{-1}\mathrm{d}\pi_F(X)$, который является$\mathbb{R}^n$-значная 1-форма на$FM$. Эта форма горизонтальна и эквивариантна, поэтому по общим соображениям она соответствует$TM$-значная форма на$M$. Форма, которой он соответствует, - это просто тождество$TM\to TM$, читать как форму$\mathrm{id}_x(X) = X$(или, в координатах,$\mathrm{id} = \delta^\mu_\nu \partial_\mu\otimes \mathrm{d}x^\nu$).

Эта форма является ключевым объектом, который отличает общую теорию относительности от теорий типа Янга-Миллса. Это позволяет нам определить множество часто изучаемых объектов, таких как кривизна Риччи и скаляр Риччи: мы можем думать о форме припоя как о наборе$\mathbb{R}$-значные 1-формы$\theta^\mu$. Они составляют основу горизонтальных эквивариантных 1-форм, т.е. имеем$G = G_{\mu_1\dots \mu_k} \theta^{\mu_1}\wedge\dots\wedge \theta^{\mu_k}$для любой эквивариантной горизонтальной$k$-форма$G$и в частности$x^\ast \theta^\mu = \mathrm{d}x^\mu$для любой системы координат$x$. Это позволяет нам писать такие вещи, как$F_\omega = {{F_\omega}^\mu}_\nu {T^\nu}_\mu = {R^\mu}_{\nu\sigma\rho}{T^\nu}_\mu (\theta^\sigma\wedge \theta^\rho)$и определить тензор Римана с его обычными четырьмя индексами без привязки к какой-либо конкретной системе координат - тогда его сокращения дают обычные интересующие величины. Для сохранения этих конструкций калибровочные преобразования должны сохранять форму припоя, т.е.$g\in\mathscr{G}$должен выполнить$g^\ast\theta = \theta$.

Оказывается, это означает$\mathscr{G}\cong \mathrm{Diff}_0(M)$а также$\mathscr{G}_0\cong \{1\}$( см. этот мой ответ для объяснения аргумента Траутмана по этому поводу), т. е. группа калибровочных преобразований изоморфна группе малых (= порожденных как поток векторных полей) диффеоморфизмов и не содержит нетривиальных чисто калибровочных преобразований. Это объясняет, а) почему общая теория относительности является «калибровочной теорией» в широком смысле и б) почему мы часто сталкиваемся с загадочным утверждением, что суть общей теории относительности заключается в «инвариантности диффеоморфизма». То, что он инвариантно относительно, - это на самом деле не простые «диффеоморфизмы», а преобразования расслоения фреймов, которые находятся в биекции этих диффеоморфизмов. Бесконечно мало и для связности без кручения образующие этих индуцированных преобразований расслоения реперов задаются векторным полем$X^\mu$и его ковариантные производные$\nabla_\mu X^\nu$, интерпретируется как$\mathfrak{gl}(n)$матрица.

Сноски

1. Диффеоморфизмы, не связанные с тождеством, вообще не могут подниматься до автоморфизмов расслоения, см. этот ответ МО .

2. Координатная диаграмма$x:\mathbb{R}^n\to U\subset M$определяет кадр$F(x)$на$U$по$e_i\mapsto \partial_i$и рамка$v$в свою очередь определяет координаты на$FU$путем расширения любого$(y,w)\in F_y M$в$w_i = w^j_i v_j$и$w^j_i$находятся$\mathbb{R}^{n^2}$-значные координаты для$FU$, поэтому используя это для кадра$F(x)$дает координаты$(x^\mu, w^\nu_\sigma)$. В этих координатах имеем базис$T^i_j$вертикальной части$V(FM)\subset T(FM)$данный$T^i_j = \partial_{w^i_j}$, и расширение$\omega$в этой основе дает символы Кристоффеля:$\omega = \Gamma_\mu \mathrm{d}x^\mu = {{\Gamma_\mu}^\nu}_\sigma \partial_{w^\nu_\sigma} \otimes \mathrm{d}x^\mu$.

В общей теории относительности тензорные поля (например, метрический тензор, тензор кривизны Римана, тензор энергии-импульса) остаются неизменными при смене системы отсчета. Тензоры, естественно, не меняются при смене кадров. Они составляют основу общей теории относительности и являются ключом к пониманию общей ковариантности общей теории относительности.

Обновлять:

Примечание об инвариантности тензоров: хотя тензоры инвариантны, их компоненты, безусловно, различаются в разных системах отсчета. Есть также скаляры, которые представляют собой «одиночные числа», которые вообще не меняются.

Я не думаю, что общую теорию относительности вообще можно считать калибровочной теорией. В общем случае в лангранжиане общей теории относительности нет ни локальных, ни глобальных симметрий. Любое пространство-время может иметь место в общей теории относительности; просто определите тензор энергии-импульса в соответствии с уравнениями поля Эйнштейна.

В arXiv:physics/9801019 гравитация классифицируется как параметризованная классическая теория поля с динамической метрикой .

Следующая цитата — лучшая, которую я смог найти за короткое время:

Рассмотрим классическую теорию поля с калибровочной группой$\mathcal G$. Предположим, что$\mathcal G ⊂ \mathrm{Aut}(Y)$, группа автоморфизмов ковариантного конфигурационного расслоения$Y$. Мы можем выделить два основных типа теорий поля, основанных на связи между калибровочной группой$\mathcal G$и группа диффеоморфизмов (пространства-времени)$\mathrm{Diff}(X)$.

Первая состоит из тех, которые параметризованы в том смысле, что естественный гомоморфизм$\mathrm{Aut}(Y) \to \mathrm{Diff}(X)$данный$η_Y \mapsto η_X$карты$\mathcal G$на$\mathrm{Diff}(X)$(или, по крайней мере, на «достаточно большую» их подгруппу, такую ​​как диффеоморфизмы с компактным носителем). Эта терминология отражает тот факт, что такая теория инвариантна относительно (по существу) произвольной перемаркировки точек параметра «пространство-время».$X$. (В теории относительности, см. Anderson [1967], можно было бы сказать, что$X$является относительным объектом в теории.) Параметризованная теория по преимуществу является, конечно, общей теорией относительности, и в этом случае$\mathcal G$равно группе пространственно-временных диффеоморфизмов.

Я бы порекомендовал взглянуть на так называемую «теорию двойного копирования». В нем обсуждается двойственность между калибровкой и гравитацией на уровне переходных амплитуд. Пример архивной статьи находится здесь: Perturbative Quantum Gravity as a Double Copy of Gauge Theory или здесь: Gauge and Gravity Amplitude Relations