Периодическое движение времениподобных геодезических в однородном AdS-пространстве-времени

Короче говоря, дело в том, что ваше утверждение «Центр колебаний частицы кажется физическим и независимым от координат» неверно. Ответ на вопрос «Как могут быть периодические колебания без центра колебаний в какой-либо конкретной точке?» заключается в следующем.

О единственной времениподобной геодезической в ​​чистом AdS нельзя сказать, что оначто-либо; он просто сидит там. Чтобы утверждать, что он выполняет простое гармоническое движение, вы должны ввести опорное местоположение, относительно которого он выполняет это движение. В вашем вопросе вы делаете это, вводя источник некоторого набора глобальных координат AdS. Но поскольку AdS максимально симметричен, существует бесконечное множество карт глобальных координат, каждую из которых мы можем считать помеченной геодезической в ​​начале этой карты (плюс некоторая дополнительная свобода вращения, но это не имеет значения для текущая цель). Другими словами: учитывая конкретную времениподобную геодезическую в AdS, всегда можно построить глобальную карту координат, в которой эта геодезическая лежит в начале координат. (Поэтому я должен отметить, что нет такой вещи, как происхождение , как вы написали; может быть толькопроисхождение .)

Таким образом, ваше утверждение о том, что «Все времениподобные геодезические, проходящие через начало координат AdS... совершают простое гармоническое движение относительно начала координат...», можно перефразировать независимым от координат способом: «Относительное правильное разделение между любыми двумя пересекающимися времениподобными геодезические в AdS подвергаются SHM как функция собственного времени вдоль этих геодезических». Теперь понятно, как решается вопрос: вы рассматриваете не просто одну геодезическую, а относительное разделение двух геодезических.

Для потомков я хочу объяснить, что именно меня смутило. Представьте, что Алиса наблюдает за массивной частицей, периодически колеблющейся вокруг своей оси:

Все идет нормально. Но теперь приходит Боб и устанавливает другую систему координат, начало которой$x = 0$просто немного смещен от Алисы:

Частица также проходит через начало этой системы координат, но не совершает периодических колебаний вокруг нее. Но предполагается, что массивные частицы, траектории которых проходят через начало координат (координат Боба), колеблются вокруг начала координат. Явное противоречие.

Как указал Себастьян, решение состоит в том, что если черная синусоида на самом деле является геодезической, то синяя система координат Боба не является геодезической . Это правильная система координат, но если бы Боб был привязан к этой системе координат, то он не был бы инерционным, а чувствовал бы ускорение. Следовательно, система координат Боба не является обычными координатами полярного типа, которые мы обычно используем для AdS, и неверно, что все времениподобные геодезические, проходящие через его начало, должны колебаться вокруг этого начала.

Действительно, вы правы в своем утверждении, что времениподобные геодезические колеблются через начало координат, и вместе с тем фактом, что AdS однородна и изотропна, это представляет некоторую загадку, потому что ясно, что начало AdS не является особой точкой.

Разрешение состоит в том, что начало координат зависит от координат так же, как северный полюс сферы зависит от координат. Если взять общую геодезическую, колеблющуюся в начале координат, и преобразовать ее в новый набор координат, в общем случае новая траектория не будет колебаться в начале новой системы координат.

Идея обсуждения геодезических так, как это делает Кэрролл, состоит в том, что из-за однородности, если мы хотим рассмотреть все возможные геодезические, достаточно просто рассмотреть все геодезические, проходящие через данную точку, скажем, начало координат. Затем симметрии можно использовать для преобразования этих геодезических в те, которые проходят через разные точки. Ключевым моментом является то, что времениподобные геодезические, проходящие через начало координат, представляют собой лишь подмножество всех возможных геодезических.

Аналогия с плоским пространством заключалась бы в том, чтобы рассмотреть множество всех прямых, проходящих через начало координат, если кого-то интересовали геодезические плоского пространства, опуская те, которые не проходят через начало координат, потому что их можно тривиально получить с помощью переводов. В данном случае, поскольку AdS изогнут, у него нет «переводов» как таковых, с$x^{\mu} \rightarrow x^{\mu} + C^{\mu}$если$x^{\mu}$это координаты и$C^{\mu}$представляют собой набор констант, но у него есть изометрии, которые перемещают начало координат.

На самом деле, для еще более компактного описания времениподобных геодезических можно было бы просто указать частицу, находящуюся в начале координат, а все остальные можно было бы получить с помощью симметрий. В плоском пространстве это было бы похоже на задание одной прямой линии и заявление о том, что все остальные прямые линии можно получить с помощью поворотов и перемещений.