Какое-то уравнение сохранения

Насколько мне известно, в ОТО выражение вида$\nabla_{\mu} X^{\mu} = 0$утверждает, что, связанный с$X^{\mu}$, существует заряд, который сохраняется. Первый пример, который приходит на ум, это закон сохранения энергии-импульса.$\nabla_{\mu} T^{\mu\nu} = 0$, как следствие сокращенных тождеств Бьянки и предположения об уравнениях поля Эйнштейна.

Мой вопрос касается значения следующего выражения:

где$R^{\mu\nu}$является ковариантным тензором Риччи и$K_{\nu}$является общим векторным полем.

Означает ли это уравнение что-то в его нынешнем виде? Или мне нужно ввести метрику (и, следовательно, форму тензора Риччи), чтобы найти больше информации?

Дело в том, что я не понимаю, какая сохраняющаяся величина может быть связана с вектором$R^{\mu\nu} K_{\nu}$.

Уравнение происходит от довольно своеобразного способа получения модифицированной теории гравитации. Ссылка здесь , но первоисточник там

Я признаю, что процедура не совсем ясна для меня, но в основном она, кажется, апеллирует к подходу, подобному «калибровочной теории», для получения модифицированных уравнений гравитационного поля. Это довольно длинно, но в конечном итоге они рассматривают коммутаторы ковариантных производных последовательных порядков для получения соответствующих величин, таких как тензор Римана (коммутатор первого порядка) и поток материи (коммутатор второго порядка). Для последнего необходима аналогия с калибровочными теориями. Наконец, они получают модифицированные уравнения гравитационного поля, уравнение (16) в первой ссылке.

Сама природа подхода делает необходимым использование векторного поля$K_{\nu}$для проведения вычислений, но характер такого векторного поля никогда не указывается (на самом деле в этом нет необходимости). Только после уравнения (16) они отмечают, что случай Эйнштейна восстанавливается, если$\nabla_{\mu}K_{\nu}=0$.

Возвращаясь к уравнению, которое я опубликовал... чтобы иметь некоторые намеки на смысл всего этого, начиная с уравнения (16) в статье, я просто накладываю условие вакуума$T^{\mu\nu}=0$и посмотрите, что произойдет:

$\left(\nabla_{\mu}R^{\mu\nu}\right) K_{\nu} + R^{\mu\nu} \left( \nabla_{\mu} K_{\nu} \right) = 0$

вот и все.

Меня совсем не убеждают комментарии, которые они делают по поводу векторного поля (они называют его «субстратом»), но в целом процедура не кажется такой уж плохой.