Стрелка космическая конструкция

Все последующее чисто умозрительно, так как у меня нет достаточно времени, чтобы проверить все детали, но я был бы рад помочь, если кто-то застрял в доказательстве.

Давайте сначала определим, что такое пространство стрелки. Учитывая евклидово пространство$S$(модель аксиом Тарского ), рассмотрим следующее отношение эквивалентности$\operatorname{E}$на$S^2$:

$(P,Q) \operatorname{E} (P',Q') :\Longleftrightarrow$сегменты$[PQ']$и$[P'Q]$имеют одну и ту же среднюю точку (т.е. если$PQQ'P'$является параллелограммом).

Вектор является элементом$S^2/\operatorname{E}$(класс эквивалентности). Для удобства пишут$\vec{PQ}$для класса эквивалентности$(P,Q)$.

Вам понадобится следующая лемма:

лемма Для любых точек$P,Q,R$, существует (единственная) точка$S$такой, что$\vec{PQ} = \vec{RS}$.

например, вот способ определить добавление 2 векторов$\vec{PQ}$и$\vec{P'Q'}$:

Позволять$S$быть такой точкой, что$\vec{QS} = \vec{P'Q'}$, один определяет$\vec{PQ} + \vec{P'Q'} := \vec{PS}$.

Предложение Сложение корректно определено!

Что касается произведения вектора на скаляр, вам понадобится подходящее поле. Если вы работаете с моделью$(S,\operatorname{B},\equiv)$аксиомы Тарского, то возьмем любую строку$\mathcal{D} = (PQ)$. Мы будем работать со следующим (упорядоченным) полем$(F,+,\cdot,\leqslant)$:

• домен :$F := \{\vec{AB} \,|\, A,B \in \mathcal{D}\}$. Следовательно,$F = \{\vec{PA} \,|\, A \in \mathcal{D}\}$.
• add : сложение векторов, как указано выше.$(F,+)$является коммутативной группой с нейтральным элементом$\vec{PP}$.
• порядок : порядок индуцируется отношением между$\operatorname{B}$и добавление $$\vec{PA} \leqslant \vec{PB} :\Longleftrightarrow \operatorname{B}(P,C,Q) \vee \operatorname{B}(P,Q,C) \textrm{ where }C \textrm{ is such that} \vec{AB} = \vec{PC}$$
• умножение: это самая сложная часть, она имитирует теорему Фалеса. Позволять$x,y \in F$, сказать$x = \vec{PA}$и$y = \vec{PB}$. Вот как вычисляют$x \cdot y$:

До обмена$x$и$y$, мы можем предположить, что существует$C \notin \mathcal{D}$такой, что$CQ \equiv PB$. Позволять$D$быть пересечением$(PC)$и параллель к$(CQ)$проход через корыто$A$. Продукт$x \cdot y$будет равно$\vec{PE}$, где$E \in \mathcal{D}$удовлетворяет$PE \equiv AD$. Есть две возможности для$E$,$\vec{PE} \leqslant \vec{PP}$или$\vec{PE} \geqslant \vec{PP}$:

1. Если оба$\vec{PA}$и$\vec{PB}$являются$\leqslant \vec{PP}$(отв.$\geqslant \vec{PP}$) берет$E$такой, что$\vec{PE} \geqslant \vec{PP}$.
2. В противном случае берется$E$такой, что$\vec{PE} \leqslant \vec{PP}$.

предложение $(F,+,\cdot,\leqslant)$есть реальное замкнутое поле с нулем$\vec{PP}$и единица измерения$\vec{PQ}$.

замечание $F=F_{P,Q}$видимо зависит от выбора$P$и$Q$, но для любого$P' \neq Q' \in S$такой, что$PQ \equiv P'Q'$, каждый получает$F_{P,Q} \cong F_{P',Q'}$канонически.