Верны ли мои догадки о специальной теории относительности?

Я думаю, что лучше четко определить рамки, пространственно-временные события с их координатами и использовать преобразование Лоренца, чтобы найти отношения между ними. Я считаю, что получать результаты интуитивно, используя сокращение длины и/или замедление времени, не так безопасно.

Итак, пусть загрунтован$\;S'\;$обозначим каркас автобуса, движущегося со скоростью$\;v=0.9\,c\;$как на рисунке 1. У нас есть 3 пространственно-временных события$\;\mathrm{A,B,C}\;$:

$$\begin{align} \mathrm{A} & =\text{shooting light beams to both directions from the middle of the bus} \tag{01.A}\\ \mathrm{B} & =\text{the backwards light beam strikes the back of the bus} \tag{01.B}\\ \mathrm{C} & =\text{the forwards light beam strikes the front of the bus} \tag{01.C} \end{align}$$

Кроме того, пусть незагрунтованное$\;S\;$обозначим остальную часть кадра Эрика, как на рисунке 2 ⁽¹⁾ .

Пространственно-временные координаты событий в заштрихованной системе отсчета$\;S'\;$автобуса являются:

$$\begin{align} \left(x'_\mathrm{A},t'_\mathrm{A}\right) & =\left(0,0\right) \tag{02.A}\\ \left(x'_\mathrm{B},t'_\mathrm{B}\right) & =\left(-d,d/c \right) \tag{02.B}\\ \left(x'_\mathrm{C},t'_\mathrm{C}\right) & =\left(+d,d/c \right) \tag{02.C} \end{align}$$ События $\;\mathrm{B,C}\;$являются одновременными в системе шины.

Пространственно-временные координаты этих событий в незаштрихованной системе отсчета Эрика.$\;S\;$являются :

$$\begin{align} \left(x_\mathrm{A},t_\mathrm{A}\right) & =\left(0,0\right) \tag{03.A}\\ \left(x_\mathrm{B},t_\mathrm{B}\right) & =\left(???,??? \right) \tag{03.B}\\ \left(x_\mathrm{C},t_\mathrm{C}\right) & =\left(???,??? \right) \tag{03.C} \end{align}$$

Полагаем, что в момент съемки ($t'_\mathrm{A}=0$) Эрик стоит напротив середины и снаружи автобуса и устанавливает там начало своих пространственно-временных событий$\left(x_\mathrm{A},t_\mathrm{A}\right) =\left(0,0\right)$.

Теперь преобразование Лоренца между кадрами$\;S,S'\;$выраженный с различиями

$$\begin{align} \Delta x & =\gamma\left(\Delta x'+v\,\Delta t'\right) \tag{04.1}\\ \Delta t & =\gamma\left(\Delta t'+\dfrac{\,v\,}{c^2}\Delta x'\right) \tag{04.2} \end{align}$$ Так $$\begin{align} \Delta x_\mathrm{BA} & =\gamma\left(\Delta x'_\mathrm{BA}+v\,\Delta t'_\mathrm{BA}\right) \Longrightarrow x_\mathrm{B}-x_\mathrm{A}=\gamma\left[\left(x'_\mathrm{B}-x'_\mathrm{A}\right)+v\,\left(t'_\mathrm{B}-t'_\mathrm{A}\right)\right] \Longrightarrow \nonumber\\ x_\mathrm{B} & =\gamma \left(-d+v\,d/c\right)=-\dfrac{c}{c+v}\dfrac{d}{\gamma}=-\sqrt{\dfrac{c-v}{c+v}}\,d=-\sqrt{\dfrac{1}{19}}\,d\approx -0.2294\,d \tag{05.1}\\ \Delta t_\mathrm{BA} & =\gamma\left(\Delta t'_\mathrm{BA}+\dfrac{\,v\,}{c^2}\Delta x'_\mathrm{BA}\right)\Longrightarrow t_\mathrm{B}-t_\mathrm{A}=\gamma\left[\left(t'_\mathrm{B}-t'_\mathrm{A}\right)+\dfrac{\,v\,}{c^2}\,\left(x'_\mathrm{B}-x'_\mathrm{A}\right)\right] \Longrightarrow \nonumber\\ t_\mathrm{B} & =\gamma \left(\dfrac{\,d\,}{c}-\dfrac{\,v\,}{c^2}\,d\right)=\dfrac{1}{c+v}\dfrac{d}{\gamma}=\sqrt{\dfrac{c-v}{c+v}}\,\dfrac{\,d\,}{c}=\sqrt{\dfrac{1}{19}}\,\dfrac{\,d\,}{c}\approx 0.2294\,\dfrac{\,d\,}{c} \tag{05.2} \end{align}$$ и на той же основе $$\begin{align} \Delta x_\mathrm{CA} & =\gamma\left(\Delta x'_\mathrm{CA}+v\,\Delta t'_\mathrm{CA}\right) \Longrightarrow x_\mathrm{C}-x_\mathrm{A}=\gamma\left[\left(x'_\mathrm{C}-x'_\mathrm{A}\right)+v\,\left(t'_\mathrm{C}-t'_\mathrm{A}\right)\right] \Longrightarrow \nonumber\\ x_\mathrm{C} & =\gamma \left(d+v\,d/c\right)=\dfrac{c}{c-v}\dfrac{d}{\gamma}=\sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}}\,d=\sqrt{19}\,d\approx 4.3589\,d \tag{06.1}\\ \Delta t_\mathrm{CA} & =\gamma\left(\Delta t'_\mathrm{CA}+\dfrac{\,v\,}{c^2}\Delta x'_\mathrm{CA}\right)\Longrightarrow t_\mathrm{C}-t_\mathrm{A}=\gamma\left[\left(t'_\mathrm{C}-t'_\mathrm{A}\right)+\dfrac{\,v\,}{c^2}\,\left(x'_\mathrm{C}-x'_\mathrm{A}\right)\right] \Longrightarrow \nonumber\\ t_\mathrm{C} & =\gamma \left(\dfrac{\,d\,}{c}+\dfrac{\,v\,}{c^2}\,d\right)=\dfrac{1}{c-v}\dfrac{d}{\gamma}=\sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}}\,\dfrac{\,d\,}{c}=\sqrt{19}\,\dfrac{\,d\,}{c}\approx 4.3589\,\dfrac{\,d\,}{c} \tag{06.2} \end{align}$$

Диаграмму пространства-времени см. на рис. 3.

---

^{(1) Для удобства рис. 2 нарисован в масштабе, но с$\;v/c=0.60 (\gamma=1.25)\;$вместо$\;v/c=0.90 (\gamma=1/\sqrt{0.19}\approx 2.2942)\;$вопроса.}

^{(2) Кинематика: (а) Если две машины 1 и 2 на расстоянии$\;s\;$врозь начинают бежать навстречу друг другу со скоростью$\;v_{1}\;$и$\;v_{2}\;$соответственно, то они встретятся друг с другом спустя время}

$$\begin{equation} \Delta t =\dfrac{s}{v_{1}+v_{2}} \tag{a.1} \end{equation}$$ На расстоянии $$\begin{equation} s_{1}=\dfrac{v_{1}}{v_{1}+v_{2}}\;s \tag{a.2} \end{equation}$$ от начальной точки автомобиля 1. (b) Если два автомобиля 1 и 2 на расстоянии $\;s\;$врозь начать бежать со скоростью $\;v_{1}\;$и $\;v_{2}\;$соответственно, где $\;v_{1}>v_{2}\;$, так что более быстрая машина 1 «охотится» за другой машиной 2, тогда машина 1 «догонит» машину 2 через некоторое время $$\begin{equation} \Delta t=\dfrac{s}{v_{1}-v_{2}} \tag{b.1} \end{equation}$$ На расстоянии $$\begin{equation} s_{1}=\dfrac{v_{1}}{v_{1}-v_{2}}\;s \tag{b.2} \end{equation}$$ от места старта автомобиля 1.С $\;v_{1}=c$, $\;v_{2}=v\;$но $\;s=d/\gamma$= полуширина автобуса в сжатом состоянии $\;d\;$, уравнения (a.2), (a.1), (b.2) и (b.1) дают уравнения (5.1), (5.2), (6.1) и (6.2) соответственно (см. также данные на рис. 2). ).

Большое спасибо за то, что попросили меня пересмотреть мой ответ, поскольку изначально я был неправ; Я недостаточно тщательно думал о своем результате. Дай мне попробовать снова.

Ваша интуиция почти верна. Единственная разница в том, что существует специальная релятивистская странность, называемая сокращением длины . Таким образом, мы ожидаем, что результат для времени в незагрунтованном кадре, в течение которого свет падает на правую стенку автобуса, равен

$$t_R = \frac{1}{c-v}\frac{d}{\gamma}$$ и время, когда свет падает на левую стенку автобуса, равно $$t_L = \frac{1}{c+v}\frac{d}{\gamma},$$ где эти дополнительные $1/\gamma$счет сокращения длины.

Теперь давайте собственно выведем результат, чтобы проверить нашу интуицию.

Запишем уравнения в нештрихованном ($v=0$) рамка для движения двух концов автобуса$x_L(t)$и$x_R(t)$а также уравнения движения двух световых лучей$\ell_L(t)$и$\ell_R(t)$. То, что вы ищете, это время, когда световой луч, движущийся вправо, пересекается с правым концом шины (т.е. для$t_R$такой, что$x(t_R)=\ell_R(t_R)$) и момент, когда движущийся влево световой луч пересекает левый конец шины (т.е. за$t_L$такой, что$x(t_L)=\ell_L(t_L)$).

Запишем координаты правой стороны автобуса, левой стороны автобуса и вас в вашей загрунтованной рамке:

$$(t'=0,x'=d)$$ $$(t'=0,x'=-d)$$ $$(t'=0,x'=0).$$ Мы можем использовать стандартные законы преобразования Лоренца $$x'=\gamma(x-vt)\\t'=\gamma(t-vx/c^2) \\ x=\gamma(x'+vt') \\ t=\gamma(t+vx/c^2)$$ чтобы определить расположение этих координат в нештрихованном кадре: $$(t=\gamma v \frac{d}{c^2},x=\gamma d)$$ $$(t=-\gamma v \frac{d}{c^2},x=-\gamma d)$$ $$(t=0,x=0).$$

Детально разработаем положение правой стороны автобуса в незагрунтованной рамке. Поскольку автобус движется с постоянной скоростью, мы должны иметь

$$x_R(t)=vt+c_R,$$ где $c_R$является некоторой константой. Мы можем найти $x_0$от $$x_R(t=\gamma v \frac{d}{c^2}) = v(\gamma v \frac{d}{c^2})+c_R = \gamma d,$$ Который означает, что $$c_R = \gamma d(1-\frac{v^2}{c^2}) = \frac{d}{\gamma}.$$

В то же время мы можем записать уравнения, описывающие правосторонний свет в нештрихованной системе отсчета:

$$\ell_R(t)=ct.$$

Решение для$t_R$установив$x_R(t_R)=\ell(t_R)$, мы нашли

$$vt_R+\frac{d}{\gamma}=ct_R$$ подразумевает, что $$t_R=\frac{1}{c-v}\frac{d}{\gamma}.$$

Проделывая аналогичные действия для левой стороны автобуса, находим

$$x_L(t)=vt-\frac{d}{\gamma}$$ и $$t_L=\frac{1}{c+v}\frac{d}{\gamma}.$$