Вещественные примитивные характеры и квадратичные формы

Question

Вещественные примитивные характеры и квадратичные формы

Математика
теория чисел
алгебраическая теория чисел

Сомсом

так как я не очень хорошо знаю алгебру, у меня есть некоторые проблемы со следующими понятиями:

Я хочу спросить кое-что о квадратичных полях и квадратичных формах. На самом деле мой главный вопрос — это связь между примитивными характерами Дирихле и теорией квадратичных форм.

Я не мог понять связь между дискриминантом квадратичных полей и квадратичными формами, на самом деле я в принципе не понимаю, что такое дискриминант квадратичных полей.

Ведь было сказано, что в теории квадратичных полей $(\frac{d}{p})$ определяет способ, которым простой $p$ факторизует в квадратичном поле дискриминанта $d$ .

Кроме того, мы знаем, что все примитивные характеры Дирихле $(\frac{-4}{n}), (\frac{8}{n}), (\frac{-8}{n})$ и $(\frac{p(-1)^\frac{p-1}{2}}{n})$ когда $p\neq 2$ .

Предполагая $\chi$ является реальным примитивным характером Дирихле, какое значение $\chi(-1)$ дает нам, я не мог понять, связать понятие примитивного вещественного характера с приведенным выше утверждением о факторизации простых чисел.

Ответы (1)

Вещественные примитивные характеры и квадратичные формы

Уилл Джаги · Answer 1

Я действительно не знаю, чего вы хотите; это начало.

Возьмите дискриминант бинарных квадратичных форм, то есть $\Delta \equiv 0,1 \pmod 4,$ также $\Delta,$ если неотрицательно, не является квадратом.

Возьмите прайм $p$ такой, что $\Delta \neq 0 \pmod p$ и символ Лежандра $(\Delta| p ) = 1.$ Следствием методов редукции является то, что существует примитивная бинарная форма дискриминанта. $\Delta$ который представляет $p.$ То есть есть целые числа $A,B,C$ с $\gcd(A,B,C) = 1,$ и $B^2 - 4 AC = \Delta,$ с целыми числами $u,v$ и

А {ты}^{2} + Б ты в + С в^{2} "=" п .

$A u^2 + B uv + C v^2 = p.$

Например, если $(-4|p) = 1,$ мы можем решить $u^2 + v^2 = p.$

Для $(-23|p) = 1,$ мы можем решить одну из трех $x^2 + xy + 6 y^2 = p,$ или $2x^2 \pm xy + 3 y^2 = p,$ не оба. Можно сказать какой: если

г^{3} - г + 1 \equiv 0 (мод п)

$z^3 - z + 1 \equiv 0 \pmod p$ имеет корень (так как

(- 23 | p) = 1

$(-23|p) = 1$ на самом деле у него будет три корня), то имеем

x^{2} + x y + 6 y^{2} = p .

$x^2 + xy + 6 y^2 = p.$

Предложите книгу Кокса http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-1118390180.html , а также http://math.blogoverflow.com/2014/08/23/binary-quadratic-forms-over -рациональные-целые-и-числа-классов-квадратичных-%EF%AC%81полей/

Вещественные примитивные характеры и квадратичные формы

Сомсом

Ответы (1)

Уилл Джаги

Нежное введение в алгебраическую теорию чисел

Что означает идеальная классовая группа?

Является ли алгебраическая теория чисел активной областью исследований?

Если n>1n>1n>1, квадрат нечетного числа Фибоначчи F(2n+1)F(2n+1)F(2n+1) можно записать как сумму ровно F(2n+1)+1F (2n+1)+1F(2n+1)+1 ненулевой квадрат.

Является ли «алгебраическая теория чисел» изучением теории алгебраических чисел или это изучение теории чисел с алгебраической точки зрения?

Если n>1n>1n>1, существуют ли f1,…,fk∈Z[x]f1,…,fk∈Z[x]f_1,\dots,f_k\in\mathbb{Z}[x] степени nnn такое, что для любого простого ppp некоторое fifif_i неприводимо и имеет степень nnn, mod ppp?

Примитивный тройной генератор Пифагора

Докажите эту идентичность, используя тройную идентичность продукта Якоби.

Существуют ли сколь угодно длинные промежутки между простыми числами, в которых каждое число имеет по крайней мере три различных простых делителя?

Доказательство незначительного утверждения, связанного с гипотезой о простых числах-близнецах