Является ли алгебраическая теория чисел активной областью исследований?

Во время учебы в магистратуре я прошел вводный курс по алгебраической теории чисел, который мне очень понравился. Теперь, когда я начинаю думать о своей докторской диссертации, мне интересно, не следует ли мне заняться чем-то в этом направлении.

Однако, как и практически на всех курсах, которые я проходил, я был слишком занят, пытаясь понять определения и теоремы, и у меня оставалось мало времени (или недостаточно знаний), чтобы понять историческое развитие или исследовательские перспективы по этому вопросу.

Является ли алгебраическая теория чисел активной областью исследований? Я спрашиваю об этом, потому что почти все, что я читал или слышал о теории чисел за последние годы, похоже, связано с аналитическими методами (гармонический анализ, теория вероятностей, эргодическая теория и т. д.), которые на самом деле мне не по душе.

Поскольку я больше увлекаюсь алгеброй (это означает, что меня инстинктивно привлекают такие вещи, как коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия, теория Галуа и, конечно же, алгебраическая теория чисел), я бы хотел, чтобы в теории чисел все еще были активные направления исследований. используя фактические алгебраические методы, по крайней мере, по большей части.

Я знаю, что этот вопрос довольно расплывчатый, но именно так я могу сформулировать его прямо сейчас, поэтому любые советы, идеи, предложения по чтению и т. Д. Буду очень признательны.

Во-первых, название предмета постоянно вводит в заблуждение: на самом деле это «теория алгебраических чисел», а не «алгебраическая теория чисел». То есть основные результаты нуждаются в некоторых аналитических характеристиках комплексного анализа и некоторой формы гармонического анализа. Применимость этих идей — вот что отличает кольца целых алгебраических чисел от общих коммутативных колец, даже от общих областей Дедекинда и т. д., для которых обычные результаты теории чисел неверны.
Я поддерживаю то, что Павел сказал выше, но также, конечно. Мой отдел битком набит теоретиками алгебраических чисел.
@paulgarrett О, понятно. Так что, может быть, то, что мне нужно, это не теория чисел, а что-то вроде коммутативной алгебры, верно?
@Stephen Я думаю, что это нормально - хотеть работать в области, где используются определенные методы. Например, я нахожу многие вопросы в дифференциальной геометрии увлекательными, но предпочитаю стиль аргументации в алгебраической геометрии.
@paulgarrett, см. также math.stackexchange.com/questions/1290443/… .
@ Стивен, но у меня должна быть некоторая избирательность, верно? Я имею в виду, что существует много проблем, и, судя по моему (короткому) опыту, если вы задаете вопросы, которые звучат чисто алгебраически, обычно ответ в основном алгебраический (используя крайний пример, я не могу представить, чтобы вы спрашивали об алгебраической строке). связок и услышать ответ с использованием гармонического анализа). Думаю, я ищу задачи, которые, скорее всего, будут иметь алгебраические ответы.
@ rmdmc89, да, я думаю, что лучший, более описательный ярлык для того, что вы хотите, - это «коммутативная алгебра» в ее современном смысле.
@lhf, ах, да, я думал, что где-то видел такой вопрос...
@ rmdmc89 Я тоже нахожусь в ТОЧНО той же обуви, что и вы, и мне больше нравятся алгебраические темы, как вы упомянули. Я не возражаю против какого-то аналитического метода, но, как вы упомянули, это не моя чашка чая. Судя по вашим недавним сообщениям, вы решили использовать алгебраическую теорию чисел/арифметическую геометрию. Если вы не возражаете, не могли бы вы поделиться своим текущим опытом и действительно ли это соответствует вашим алгебраическим предпочтениям? Не могли бы вы также упомянуть причину, по которой вы выбрали сторону теории чисел, а не сторону «чистой» коммутативной алгебры? Заранее спасибо!
@ user600016, я написал этот вопрос в начале своей докторской диссертации, которая почти закончилась, поэтому мне есть что сказать. Начнем с того, что я благодарен моему консультанту, который настоял на том, чтобы я был знаком с дифференциальной геометрией, что в то время казалось мне несколько произвольным. Она была права. Многие важные идеи в алгебраической геометрии исходят из дифференциальной геометрии и комплексного анализа, и просто глупо пытаться понять одно без другого (я думаю, что люди должны познакомиться, например, с римановыми поверхностями, прежде чем углубляться в алгебраическую геометрию).
Забавно, что я не упомянул геометрию в посте, потому что это то, что мне всегда нравилось, и это большая часть того, что я делаю сейчас. Конечно, на меня повлиял мой советник, который занимается арифметической геометрией, а именно эллиптическими поверхностями над числовыми полями (грубо говоря, поверхностями, составленными из эллиптических кривых). Что меня восхищает в этом предмете, так это то, что, хотя он выглядит очень теоретико-числовым (и, между прочим, так оно и есть), мы широко используем алгебраическую геометрию. Формальные аргументы алгебраичны, но впечатляет, сколько раз я ловил себя на том, что думаю визуально.
Откровенно говоря, должен сказать, что коммутативная алгебра, как чисто абстрактная вещь, уже не привлекает меня так, как раньше. Теперь я могу смотреть на это только через призму алгебраической геометрии или теории чисел, иначе это меня отталкивает. Вообще говоря, я думаю, что алгебраическая геометрия никогда меня не разочаровывала, потому что она привлекала как мои алгебраические, так и визуальные стороны. Это может быть пугающим, но большая часть этого происходит из-за неадекватного преподавания или письма. Машины тяжелые, это правда, но основные идеи очень естественны, когда берешь их в руки.
@ rmdmc89 Вау, большое спасибо за подробный ответ, очень ценю это!

Ответы (1)

В настоящее время различие между алгебраической и аналитической теорией чисел заключается не в доказательствах, а в вопросах, на которые вы пытаетесь ответить. Аналитическая теория чисел задает такие вопросы, как «как простые числа распределены на числовой прямой?» Алгебраическая теория чисел задает такие вопросы, как «как расщепляются простые числа в заданном расширении числовых полей?»

На многие вопросы алгебраической теории чисел трудно ответить, просто используя алгебру. Благодаря использованию аналитических методов было получено огромное количество информации. Например, нет известного доказательства только с помощью алгебры того, что не существует нетривиальных неразветвленных расширений Вопрос . Но граница Минковского для дискриминанта показывает, что она никогда не бывает тривиальной.

Есть несколько глубоких вопросов о целочисленных решениях полиномиальных уравнений, на которые можно ответить, только связав их с модулярными формами. В более общем плане ожидается, что представления и связанные с ними L-функции редуктивных групп дадут значительное арифметическое понимание после завершения программы Лангланга. Это представляется наиболее многообещающим направлением будущего алгебраической теории чисел.

Если вам нравится алгебраическая теория чисел, я бы рекомендовал сочетать аналитические методы с алгебраическими. Когда вы действительно занимаетесь такой математикой, вы не сможете отличить, занимаетесь ли вы алгеброй или анализом. Если вы действительно не любите анализ, возможно, вам лучше заняться чем-то вроде коммутативной алгебры.

Является ли алгебраическая теория чисел активной областью исследований?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v