Является ли «алгебраическая теория чисел» изучением теории алгебраических чисел или это изучение теории чисел с алгебраической точки зрения?

Я должен не согласиться с утверждениями, что «Алгебраическая теория чисел» является алгебраическим исследованием всего, что угодно, включая, возможно, теорию чисел или, возможно, «числа», какова бы ни была ссылка.

То есть в реальной практике это «теория алгебраических чисел», включая «целые алгебраические числа», включая$p$-адические методы, включая методы комплексных переменных, включая методы гармонического анализа, включая теорию Галуа, включая рудиментарную коммутативную алгебру, ...

Например, не существует (насколько мне известно) «чисто алгебраического» доказательства аналитического продолжения и функционального уравнения дзета-функций числовых полей, их L-функций Гекке, ни даже теоремы Дирихле о единицах и конечности числа классов... отчасти потому, что это не «чисто алгебраические» факты, потому что они справедливы для колец целых алгебраических чисел (и аналогов функциональных полей), а не для общих областей Дедекинда.

Правда, тот факт, что вводятся немного коммутативной алгебры и немного теории поля, может заставить некоторых думать, что «это и есть алгебра», точно так же, как появление некоторого комплексного анализа побуждает некоторых сказать «это аналитическая теория чисел», но, по сути, это не так. неуместные способы оценки ситуации, а также разбора названий вещей.

В основном это последнее: изучение теории чисел с алгебраической точки зрения, точно так же, как аналитическая теория чисел является изучением теории чисел с точки зрения анализа.

С алгебраической теорией чисел часто легче решать уравнения, которые были бы более трудными, если не невозможными, с помощью элементарных методов. Алгебраическая теория чисел часто имеет дело с этими уравнениями в контексте конкретной (хотя и не обязательно определенной) алгебраической структуры, известной как кольцо, часто привлекая алгебраические понятия, такие как гомоморфизмы, биекции, сюръекции и т. д.

Но, конечно, важно знать разницу между алгебраическими числами и целыми алгебраическими числами.

Рассмотрим страницу Википедии для алгебраической теории чисел на других языках:

• Теория алгебры имен

• Алгебраическая теория

• Теория алгебры чисел

• Teoria algébrica dos números

Исключением, подтверждающим правило, является испанский:

• Алгебраическая теория чисел

который начинается с признания другой формы: «La teoría de números alphaicos o teoría алгебраика de números ...»

В этих языках (в которых я могу разобраться) ясно, что теория алгебраична, а не числа. С другой стороны, он изучает алгебраические числа, отсюда и путаница.

Это изучение теории чисел с алгебраической точки зрения. Методы алгебраической теории чисел используются для решения многих задач теории чисел. Например, изучение целых чисел Гаусса проливает свет на вопрос о том, какие простые числа являются суммой двух квадратов.

Ответы сообщества Mathematics StackExchange не только «более интуитивны и поучительны», они гораздо более достоверны, чем все, что вы найдете в Википедии. Хотя это правда, что многие из «сообщества» здесь также активны в Википедии, их таланты и идеи в основном тратятся там впустую.

Здесь гораздо более жесткий контроль, чем там. И не каждый, у кого есть учетная запись здесь, может редактировать список тегов (например, я не могу, как бы меня ни беспокоило строчное «диофантин»). Этот список тегов определяет алгебраическую теорию чисел следующим образом:

Вопросы, связанные с алгебраической структурой целых алгебраических чисел

Мне кажется очень ясным. Для сравнения взгляните на теорию элементарных чисел.

Вопросы о сравнениях, линейных диофантовых уравнениях, наибольшем общем делителе, делимости и т. д.

аналитическая теория чисел

Вопросы использования методов вещественного/комплексного анализа при изучении теории чисел.

и p-адическая теория чисел

В математике p-адическая система счисления для любого простого числа p расширяет обычную арифметику рациональных чисел.

Я бы поправил пунктуацию последнего, но, как я уже сказал, я не могу редактировать описания тегов. Но я могу прямо сейчас зайти в Википедию и вставить всякую чепуху и неправоту.