Нормализация многочастичных волновых функций

Нет, условие нормализации всегда одно и то же. Это должно быть так, исходя из того, как определяются средние значения наблюдаемых:

$$\langle A\rangle|_\Psi:=\frac{\langle\Psi|A|\Psi\rangle}{\langle\Psi|\Psi\rangle}.$$ Состояния нормализованы, чтобы избежать знаменателя. Это просто удобный выбор, и нет причин его менять. Когда вы обращаетесь к волновой функции $\Psi(q_1,...q_N)$для системы $N$идентичных частиц (бозонов или фермионов), вы берете нормализованную волновую функцию.

Ваше замешательство в случае идентичных частиц можно устранить на явном примере, который очень часто встречается в практических приложениях. Предположим, что у нас есть$N$волновые функции$\psi_i$которые принимают в качестве входных данных только одну координату (или набор из трех координат в 3D), и мы хотим описать набор$N$фермионов, приписывая каждому из них волновую функцию. Мы берем каждую волновую функцию как отдельную волновую функцию, представляющую отдельное состояние (это наиболее общий случай, поскольку мы имеем дело с фермионами), и накладываем соотношения ортонормированности$\langle \psi_i|\psi_j\rangle=\delta_{ij}$.

После этой преамбулы мы хотим построить волновую функцию для$N$фермионы. Мы начинаем с предварительной волновой функции, такой как

$$\Psi(q_1,...,q_N)=\psi_1(q_1)...\psi_N(q_N).$$ Эта волновая функция имеет единичную норму из-за ортонормированности $\psi_i$, но не является антисимметричным относительно замены фермионных координат $q_i\leftrightarrow q_j$. Это интерпретируется как «первый фермион находится в состоянии, описанном $\psi_1$, второй в состоянии, описываемом $\psi_2$et cetera», так что он явно проводит различие между частицами.

Чтобы решить эту проблему, мы антисимметризируем волновую функцию как

$$\Psi(q_1,...,q_N)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{P}(-1)^{P}\psi_{P(1)}(q_1)...\psi_{P(N)}(q_N).$$ Это обозначение означает «сумма по всем перестановкам $P$строки $1...N$, оставив фиксированными координаты и переместив индексы волновой функции, и вставив знак $-$для нечетных перестановок» (можно и наоборот). Теперь у вас есть $\sqrt{N!}$как тот, который беспокоит вас. Это именно то, что нужно для нормализации всей волновой функции. Почему?

Ну, когда вы выполняете интеграл от$\Psi^*\Psi$, на самом деле это сумма произведений одночастичных интегралов вида$\int\psi_i^*(q)\psi_j(q)dq$, а условие ортонормированности гарантирует, что для того, чтобы интеграл был равен нулю, вы должны иметь те же волновые функции под интегралом$(i=j)$. По модулю$\Psi$тогда единственными сохранившимися вкладами являются интегралы, в которых перестановка$(1...N)$в лифчике точно соответствует такой же перестановке в кет. Любой из этих терминов дает$1$, из-за ортонормированности. Теперь, сколько перестановок строки$(1...N)$Ты можешь сделать? Именно$N!$что необходимо для сокращения знаменателя.

При (анти)симметрировании волновых функций системы идентичных частиц векторы состояния ограничиваются тем, что они живут в подпространстве исходного гильбертова пространства, и, таким образом, отношения ортонормированности и полноты становятся другими. Фактически ваш вопрос касается обоих этих отношений.

Во-первых, следует вспомнить, что в КМ, если два вектора состояния пропорциональны друг другу (два вектора совпадают), они называются эквивалентными, и только один из них вносит вклад в отношение полноты. В системе многих тел, если «переставить» две частицы, новый вектор состояния эквивалентен исходному. Следовательно,

$$\sum_{q_1,q_2,\cdots,q_N}\frac{\prod_{q_j}n_{q_j}!}{N!}\left|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle\left\langle q_1,q_2,\cdots,q_N\right| = 1.$$ Здесь,$N$общее количество частиц и$n_{q_i}$число заполнения одночастичного состояния$q_i$. Этот коэффициент устраняет «пересчет» эквивалентных состояний: поскольку$N$частицы, есть$N!$перестановки их и, таким образом, один делит его на$N!$при суммировании. Однако в случае бозонной системы, если$n_{q_i}$частицы, занимающие состояние$q_i$то есть$n_{q_i}!$одинаковые состояния (вместо эквивалентных), что означает, что количество эквивалентных состояний сводится к$\dfrac{N!}{n_{q_i}!}$и т.д. В непрерывном случае, например$q_i=x_i$, $$\int\frac{dx_1dx_2\cdots dx_N}{N!}\left|x_1,x_2,\cdots,x_N\right\rangle\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N\right| = 1.$$ Здесь$n_{q_i}!=1$с позиции$x_i$может вместить только 0 или 1 частицу. Объединив это отношение с отношением нормализации, вы получите формулу: $$1=\left\langle q_1,q_2,\cdots,q_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle = \int\frac{dx_1dx_2\cdots dx_N}{N!}|\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle|^2.$$ Следовательно,$|\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle|^2$плотность вероятности для$N$частицы должны находиться в состояниях$q_1$,$q_2$и т. д. С другой стороны, вектор состояния многих тел можно записать в терминах одночастичных состояний как $$\left|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{N!\prod_in_{q_i}!}}\sum_{\mathcal{P}}\zeta^P\left|q_{P1}\right\rangle\otimes\left|q_{P2}\right\rangle\otimes\cdots\left|q_{PN}\right\rangle .$$ Его координатное представление $$\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle = \sqrt{N!}\Psi_{q_1,q_2\cdots,q_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N).$$ Заметить, что$\left|r_1,r_2,\cdots,r_N\right\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{\mathcal{P}}\zeta^P\left|r_{P1}\right\rangle\otimes\left|r_{P2}\right\rangle\otimes\cdots\left|r_{PN}\right\rangle$и$\Psi_{q_1,q_2\cdots,q_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N)$— известная волновая функция многих тел, которую можно увидеть в учебниках, нормированная на 1. В этом случае$|\Psi_{q_1,q_2\cdots,q_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N)|^2$- плотность вероятности того, что частица 1 находится в состоянии$q_1$, частица 2 в состоянии$q_2$и т. д. Его физический смысл иной, чем предыдущий.

Примените эти общие выражения к вашему примеру с двумя частицами, и вы увидите это более ясно.

Подробный вывод некоторых из этих формул см. в Статистической механике: Сборник лекций - Фейнмен (глава 6, раздел 6.7). Чтобы получить краткое представление о разнице между$|\Psi_{q_1,q_2\cdots,q_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N)|^2$и$|\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle|^2$, см. Принципы квантовой механики - Шанкар (глава 10).