Волновые функции и волновые пакеты

Не всякая волновая функция является волновым пакетом. Часто считается, что волновые функции включают в себя функции, которые не могут быть должным образом нормализованы, например$\operatorname{e}^{ikx}$, поэтому мы описываем их как «нормализованные по дельта-функции». То есть мы требуем

$$\delta(k - k') = \int_{-\infty}^\infty \operatorname{d} x \psi^\star(x, k') \psi(x, k),$$ приводит к таким вещам, как $\psi(x,k) = \operatorname{e}^{ikx} / \sqrt{2\pi}$.

К волновому пакету мы предъявляем более строгие требования, чтобы он был нормализуем и локализован как в$x$и$p$. Канонический пример волнового пакета:

$$\psi(x) \propto \exp \left(-\frac{1}{4} \frac{(x - x_0)^2}{\sigma^2} + i \frac{p_0 x}{\hbar}\right),$$ который имеет $\langle x\rangle = x_0$и $\langle p \rangle = p_0$, и нормализуется с конечной шириной как в $x$и $p$космос.

Другим примером волнового пакета является$\operatorname{sinc}$функция:

$$\psi(x) \propto \frac{\sin\left(\frac{x-x_0}{2\hbar}\Delta p\right)}{(x-x_0)} \operatorname{e}^{ip_0 x / \hbar}.$$ Он локализован в $x$, в том смысле, что он нормализуем и имеет определенные квантили, но имеет расходящуюся дисперсию. В $p$она ведет себя намного лучше, потому что это функция товарного вагона , которая простирается от $p_0 - \Delta p / 2$к $p_0 + \Delta p / 2$.