Волновые пакеты, не удовлетворяющие уравнению Шредингера?

Не зависящее от времени уравнение Шредингера свободной частицы в 1 измерении имеет вид

$$\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m}\partial^2_x\psi(x) = E\psi(x) \end{equation}$$ которое имеет решения в виде$e^{ikx}$, где$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$и$E = \frac{\hbar^2k^2}{2m}$.

Любая суперпозиция этих функций должна быть также решением уравнения Шредингера, поэтому пусть говорят

$$\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dk\phi(k)e^{ikx}.$$

Тогда мы ожидаем, что$\partial_x^2\psi(x) = - \frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)$все еще держит. Однако,

$$\partial_x^2\psi(x) = \partial_x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk\phi(k)e^{ikx} \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk \partial_x^2 \phi(k)e^{ikx} \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk \phi(k)(ik)^2e^{ikx}$$ .

Таким образом, уравнение Шрёдингера подразумевает, что

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk \phi(k)(ik)^2e^{ikx} = -\frac{2mE}{\hbar^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dk\phi(k)e^{ikx}$$ То есть, $$\int\limits_{\infty}^{\infty}dk k^2\phi(k)e^{ikx} = \frac{2mE}{\hbar^2}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk \phi(k)e^{ikx},$$ для любых функций$\phi(k)$. Означает ли это, что волновые пакеты не удовлетворяют уравнению Шредингера?