Всегда ли полны сепарабельные решения уравнения Шредингера?

Этот результат называется спектральной теоремой . Для конечномерного гильбертова пространства$\mathscr H$, утверждение состоит в том, что для любого самосопряженного$^\ddagger$оператор$H$, существует ортонормированный базис$\{\hat e_i\}$состоящий из собственных векторов$H$, и что все соответствующие собственные значения действительны.

Доказательство этого утверждения состоит в следующем.

1. По основной теореме алгебры$\mathrm{det}(H-\lambda \mathbb I)=0$имеет хотя бы одно решение - скажем,$\lambda_1$. Отсюда следует, что существует по крайней мере один ненулевой вектор$\hat e_1$(которое мы нормализуем для удобства) такое, что$(H-\lambda_1 \mathbb I) \hat e_1 = 0 \iff H\hat e_1 = \lambda_1 \hat e_1.$
2. Потому что$H$является самосопряженным, мы имеем $$\lambda_1 = \langle \hat e_1,H\hat e_1\rangle = \langle H \hat e_1 ,\hat e_1 \rangle = \overline{\lambda_1} \implies \lambda_1\in \mathbb R$$
3. Позволять$\{\hat e_1\}^\perp$обозначают ортогональное дополнение$\hat e_1$- то есть множество всех векторов$v\in\mathscr H$такой, что$\langle \hat e_1,v\rangle = 0$. Потому что$H$является самосопряженным, мы имеем это $$\langle \hat e_1,Hv\rangle = \langle H\hat e_1,v\rangle = \lambda_1 \langle \hat e_1,v\rangle = 0 \implies Hv \in \{\hat e_1\}^\perp$$ Мы говорим, что$\{\hat e_1\}^\perp$инвариантен относительно действия$H$. В результате, если мы позволим$\hat e_1$— первый элемент нашего ортонормированного базиса, тогда$H$принимает форму $$H = \pmatrix{\lambda_1 & \matrix{0 &\cdots&0}\\\matrix{0\\\vdots\\ 0} & H'}$$ где$H'$является$(n-1)\times (n-1)$-мерная самосопряженная матрица. Этот процесс можно повторять для$H'$и так далее, в конечном итоге получая диагональную матрицу с реальными элементами и заявленным базисом собственных векторов.

Для бесконечномерного гильбертова пространства$\mathcal H$, эта ситуация усложняется тем, что спектр$\sigma$произвольного оператора может состоять из дискретных точек (называемых точечным спектром,$\sigma_p$), а также континуум (называемый непрерывным спектром,$\sigma_c$).

Если спектр$H$чистая точка (поэтому$\sigma_c = \emptyset$), то доказательство по духу похоже на конечномерный случай, но есть технические особенности, которые вступают в игру, если$H$не ограничен; тем не менее вывод тот же, за исключением того, что рассматриваемый базис не имеет конечного числа элементов. Если спектр$H$содержит непрерывную часть, то возникает еще больше технических деталей, и требуется полный аппарат функционального анализа; в физике это операционально соответствует появлению ненормируемых (или обобщенных ) собственных состояний, таких как те, которые появляются для гамильтониана свободной частицы$H:= \frac{\hat P^2}{2m}$.

$^\ddagger$Легко показать, что если$H\neq H^\dagger$но$[H,H^\dagger]=0$, затем$H=A + i B$где$A,B$являются коммутирующими самосопряженными операторами. Это позволяет нам обобщить это доказательство на так называемые нормальные операторы , и единственное, что изменится, это то, что спектр оператора$H$может быть сложным.