Физический смысл линейной комбинации возможных состояний в бесконечной яме

Опубликовано три ответа, но до сих пор никто не опубликовал очевидную физическую интерпретацию. Во всех собственных состояниях энергии частица распределена внутри ящика, стационарная во времени. Если вы хотите, чтобы частица прыгала туда-сюда между стенками коробки, вы делаете это, комбинируя собственные состояния. Самый простой случай — просто смешать землю с первым возбужденным состоянием. Если вы внимательно посмотрите на результирующую функцию, то увидите, что она прыгает туда-сюда между левой и правой сторонами прямоугольника.

В этом примере волновая функция по-прежнему не очень точно локализована в любой момент, но если вы хотите добиться большего, просто добавьте больше собственных состояний.

Физический смысл суперпозиции

$\Psi(x, 0)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}C_n\Psi_n(x, 0), \ \ \ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|C_n|^2 = 1$,

появляется при измерении энергии . При измерении энергии частицы в яме$|C_n|^2$есть вероятность найти энергию$E_n$.

Для ясности я предлагаю немного изменить обозначения собственных состояний,

$\Psi(x, 0)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}C_n\Psi(x,0; E_n)$.

Предположим, что у вас есть некоторая процедура для измерения энергии частицы в яме, т.е. вы «запутываете» частицу в яме с другой частицей.$M$которые могут выбраться из колодца, st состояние обеих частиц будет

$\Psi(x,y,0)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}C_n\Psi(x,0; E_n) \Phi(y; V_n)$,

где$V_n$является свойством частицы$M$которые могут быть обнаружены устройством, т. е. устройство может сообщать одно из значений$V_1, V_2, V_3, . . .$. Если аппарат сообщил значение $V_n$, то делаем вывод, что частица в яме имела энергию $E_n$.

Затем, многократно повторяя измерение, каждый раз с другой частицей в яме и с другой частицей$M$, аппарат покажет$V_n$, то есть энергия$E_n$, с вероятностью того, что состояние$\Psi(x,0; E_n)$появляется в$\Psi(x, 0)$, а это$|C_n|^2$.

О вашем последнем вопросе,$C_m$- амплитуда вероятности найти состояние$\Psi(x,0; E_n)$появляется в$\Psi(x, 0)$, а вероятность представляет собой абсолютный квадрат амплитуды. Это формализм КМ.

Каждое из стационарных состояний$\Psi_n$является решением уравнения Шредингера с определенной энергией$E_n$, а поскольку уравнение Шредингера линейно, линейная комбинация$\sum_n C_n \Psi_n$также является решением.

Что это означает физически ? Что частица не находится в состоянии с определенной энергией (если только начальное условие$\Psi\left(x,0\right)$оказывается одним из$\Psi_n$).

Начальное условие$\Psi\left(x,0\right)$вот что определяет$C_n$, как вы показали. Если возникнет путаница в процессе расчета$C_n$, она аналогична следующей задаче.

Допустим, я говорю вам, что вектор${\bf V}$представляет собой линейную комбинацию некоторых декартовых базисных векторов$\hat{\bf e}_n$, аналогично стационарным состояниям$\Psi_n$. То есть,${\bf V} = \sum_n C_n \hat{\bf e}_n$. Чтобы определить$C_n$, вы используете ортонормированность базисных векторов$\hat{\bf e}_n \cdot \hat{\bf e}_m = \delta_{nm}$, аналогично$\int dx \Psi^*_m \Psi_n = \delta_{nm}$:

Почему _$\lvert C_n\rvert^2$затем укажите вероятность получения$E_n$когда измеряется энергия? Эта статья может помочь.

Есть много физического смысла, который не содержится в квантовой механике, но аналогичен ей. Например, в теории микроволнового излучения, где используются волноводы, волна захватывается в коробку. Аналогично бесконечная яма для электрона и электромагнитная волна в волноводе становится уже не поперечной электромагнитной, а поперечной магнитной, в которой диапазоны частот и длин волн проходят только в зависимости от размеров волновода. Там, где существует множество бесконечных мод, несущих диапазоны частот в зависимости от размера волновода.