Полное решение волновой функции частицы в задаче о ящике

Задача о частице в ящике — распространенный вопрос, которому задают людей, чтобы попрактиковаться в использовании уравнения Шрёдингера. Для такого рода задач обычно решают уравнение для собственных значений энергии

ЧАС ^ ψ н ( Икс ) "=" Е н ψ н ( Икс ) ,
где вы получаете немного ψ н ( Икс ) с их соответствующими квантованными значениями энергии Е н .

Мой вопрос в том, каково реальное состояние частицы? Я думаю, ψ н ( Икс ) являются зависящей от пространства частью некоторого стационарного состояния. Итак, интуиция подсказывает мне ответ:

Ψ ( Икс , т ) "=" ∑ н "=" 1 ∞ α н ψ н ( Икс ) е − я Е н т / ℏ .

Однако, если это так, каковы значения для каждого α н ? Решения для ψ н ( Икс ) позволять н бегать в наборе { н е Н | н > 0 } , поэтому кажется раздражающим думать о бесконечных состояниях с одинаковой вероятностью для всех из них, и эти вероятности ограничиваются суммой единицы.

значения α н определяются начальной волновой функцией. Вы спрашиваете, какова начальная волновая функция? Потому что это то, что вы решаете сами. Это начальное условие проблемы.

Ответы (2)

«Реальное» состояние частицы полностью зависит от начальных условий волновой функции. И хотя вы спрашиваете о частице в коробке, этот ответ можно применить практически к любой вводной проблеме QM. Поскольку вы не касались конкретно частицы в ящике, я также останусь на более общей стороне.

Формула, которую вы дали Ψ ( Икс , т ) "=" ∑ α н ψ н ( Икс ) е − я Е н т / ℏ является общим решением этой задачи, где ψ н ( Икс ) являются собственными функциями гамильтониана ЧАС ^ . Без какой-либо дополнительной информации это все, что вы можете сказать.

Если мы знаем начальную волновую функцию, то мы можем выразить эту волновую функцию в собственном базисе

ψ ( Икс , т "=" 0 ) "=" ψ 0 "=" ∑ β н ψ н ( Икс )

где

β н "=" ∫ ψ 0 *   ψ н ( Икс ) г Икс

кажется чем-то раздражающим думать о бесконечных состояниях с одинаковой вероятностью для всех из них, и эти вероятности ограничены суммой одного...

Вероятность измерения нашей частицы в состоянии н дан кем-то | β н | 2 при условии, что все нормализовалось. Это не означает, что все эти вероятности равны (т. е. неверно, что β 1 "=" β 2 "=" β 3 "=" . . . ). Кроме того, ограничение, что все они в сумме равны 1 необходимо, чтобы то, что мы подразумеваем под вероятностью, действительно имело смысл. Мы можем иметь бесконечные суммы неравных членов, сумма которых приближается 1 . Я бы вряд ли назвал это раздражающим. Чрезвычайно полезно и, как мне кажется, довольно круто, что множество функций можно описать одним и тем же способом: бесконечной суммой собственных функций.

и когда ящик бесконечно широк, мы называем это преобразованием Фурье.
@JEB Какая часть?
Что вы можете расширить начальное состояние до суперпозиции собственных состояний. Когда коробки нет, это просто FT.
@JEB Я понимаю, что вы говорите, но если длина достигает бесконечности, разве все собственные функции не становятся равными 0 из-за зависимостей 1/L? Как это работает математически?
@JEB Я понимаю, что вы говорите, но если длина достигает бесконечности, разве все собственные функции не становятся равными 0 из-за зависимостей 1/L? Как это работает математически?
Хорошо, спасибо за ответ :) Кстати, я знаю, что бесконечные суммы, приближающиеся к 1, не раздражают, я сказал это потому, что, поскольку у меня не было никакой информации о начальных условиях, казалось, что все коэффициенты могут быть равны друг другу , и бесконечная сумма константы должна расходиться.
@Jaime_mc2 О, хорошо. Да у вас не будет, что все коэффициенты равны. Похоже, вы уже разобрались :)

Значения α н зависят от начальных условий для конкретной волновой функции. Если вы подготовите н "=" 1 энергия ψ 1 (или измерить энергию состояния и найти ее равной Е 1 ), затем α 1 "=" 1 а все остальные равны нулю на все времена (это потому, что ψ н образуют диагональный полный базис для гамильтониана и, следовательно, являются стационарными состояниями).

Если вы подготовите какое-то другое произвольное состояние с волновой функцией ф ( Икс ) , то α н определяются перекрытием между ф и ψ н , так как собственные состояния энергии образуют базис:

| ф ⟩ "=" ∑ н "=" 1 ∞ ⟨ ψ н | ф ⟩ | ψ н ⟩ ≡ ∑ н "=" 1 ∞ α н | ψ н ⟩

и поэтому:

α н "=" ⟨ ψ н | ф ⟩ "=" ∫ ⟨ ψ н | Икс ⟩ ⟨ Икс | ф ⟩ г Икс ≡ ∫ ψ н * ( Икс ) ф ( Икс ) г Икс

который работает, потому что положение гласит { | Икс ⟩ } образуют непрерывную законченную основу.

Полное решение волновой функции частицы в задаче о ящике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v