Вопрос о столкновении шаров в 2D и сохранении импульса и кинетической энергии

Question

Вопрос о столкновении шаров в 2D и сохранении импульса и кинетической энергии

пользователь315366

У меня вопрос по поводу столкновения 2-х шаров (одной и той же массы $m=1$ ) в 2-х измерениях, пожалуйста.

Предположим, что непосредственно перед точкой столкновения скорость мяча $\rm A$ был $[1, 3]$ . Скорость мяча $\rm B$ непосредственно перед столкновением $[-2, 4]$ . Скорости непосредственно перед столкновением на картинке выглядят следующим образом.

Полный импульс до столкновения: $[1,3] + [-2,4] = [-1,7]$

Полная кинетическая энергия до столкновения равна: $0.5×(1×1 + 3×3) + 0.5×(-2×-2 + 4×4) = 15$

Поскольку это единственные два ограничения, которые мы накладываем на себя, мы можем оценить скорости после столкновения следующим образом. Предположим, что скорость мяча $\rm A$ после столкновения $[0,2]$ , а скорость мяча $\rm B$ после столкновения $[-1,5]$ .

В этом случае импульс после столкновения равен $[0,2] + [-1,5] = [-1,7]$ который точно сохраняется (поскольку импульс сохраняется по размерности для каждого измерения отдельно).

Кинетическая энергия после столкновения равна: $0.5(0×0 + 2×2) + 0.5(-1×-1 + 5×5) = 15$ который также точно сохраняется.

Таким образом, выполняются два ограничения: сохранение импульса и сохранение кинетической энергии.

Мы могли бы изобразить скорости после столкновения следующим образом:

Но этот математический результат не имеет физического смысла.

Мяч $\rm A$ как-то "поменялся" с мячом местами $\rm B$ . Сравнивая изображения до и после, мы не можем представить, чтобы столкновения шаров в реальной жизни (например, бильярдных шаров на бильярдном столе) вели себя таким образом.

Два ограничения, которые мы использовали в качестве «проверки реальности», следующие:

импульс до столкновения $=$ импульс после столкновения
кинетическая энергия до столкновения $=$ кинетическая энергия после столкновения

Это означает, что одних этих двух ограничений недостаточно, чтобы правильно предсказать, что произойдет физически, когда два шара столкнутся, не так ли?

Но это обычное кадрирование столкновения шаров в 2D. Итак, что не так с расчетом, приведенным выше, или что не так с предположением только о двух стандартных ограничениях сохранения импульса и сохранения кинетической энергии в этом случае?

ДЖЭБ

Разве 3D-столкновения не являются также 2D-столкновениями?

Ответы (1)

Вопрос о столкновении шаров в 2D и сохранении импульса и кинетической энергии

Разве 3D-столкновения не являются также 2D-столкновениями?

Марк Х · Answer 1

В двух или более измерениях сохранение импульса и сохранение кинетической энергии не обеспечивают достаточных ограничений для однозначного определения результатов упругого столкновения. Используя шары одинаковой массы, законы сохранения приводят к следующим двум уравнениям:

\vec{в_{1}} + \vec{в_{2}} "=" {\vec{в_{1}}}^{'} + {\vec{в_{2}}}^{'}

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_1}' + \vec{v_2}'$ и

| | \vec{в_{1}} | |^{2} + | | \vec{в_{2}} | |^{2} "=" | | {\vec{в_{1}}}^{'} | |^{2} + | | {\vec{в_{2}}}^{'} | |^{2}

$||\vec{v_1}||^2 + ||\vec{v_2}||^2 = ||\vec{v_1}'||^2 + ||\vec{v_2}'||^2$ где нештрихованные векторы находятся до столкновения, а штрихованные векторы - после столкновения. В этой системе уравнений четыре неизвестных:

v_{1 x}^{'}

$v_{1x}'$ ,

v_{1 y}^{'}

$v_{1y}'$ ,

v_{2 x}^{'}

$v_{2x}'$ , и

v_{2 y}^{'}

$v_{2y}'$ , но есть только три уравнения (уравнение импульса кодирует два уравнения, одно для

v_{x}

$v_x$ и один для

v_{y}

$v_y$ . Итак, существует бесконечное множество решений этих уравнений, каждое из которых соответствует определенному положению шаров в момент столкновения.

Чтобы получить решение, представьте, что мяч A находится ниже и левее мяча B, когда они сталкиваются. Мяч A получит горизонтальный удар в направлении -x и вертикальный удар в направлении -y, а мяч B получит удары в противоположных направлениях. Это приведет к тому, что шары будут иметь скорость на вашей диаграмме.

Спасибо за ответ. Я дважды проверил это, но почему-то все еще получаю тот же ответ. Кинетическая энергия после столкновения = 0,5 x (0x0 + 2x2) + 0,5 x (1x1 + 5x5) = 15. Я использую другую формулу?
@ Джеймс Ты прав. Я изменю свой ответ на что-то более правильное.
@James Я написал ответ, который на самом деле содержит истинные утверждения.
спасибо, да оказывается, ограничений недостаточно... Почему-то я всегда считал (где-то мне когда-то говорили), что столкновение бильярдного шара зависит исключительно от сохранения импульса и кинетической энергии... ;(
@James Радуйтесь, что ограничений недостаточно; в противном случае игра в бильярд была бы гораздо менее интересной. ;) Кроме того, в одном измерении законов сохранения достаточно, ну, почти. Тривиальное решение, в котором нет столкновений, также верно и подчиняется законам сохранения.

Вопрос о столкновении шаров в 2D и сохранении импульса и кинетической энергии

пользователь315366

ДЖЭБ

Ответы (1)

Марк Х

пользователь315366

Марк Х

Марк Х

пользователь315366

Марк Х

Упругое столкновение и импульс

Что вызывает повреждение, кинетическая энергия или импульс?

Третий закон Ньютона... удар гипсокартона (который я сломаю) или удар по кирпичу (который сломает меня)?

Сохранение кинетической энергии при абсолютно упругом столкновении.

Всегда ли кинетическая энергия сохраняется при упругом столкновении/ударе?

При неупругом столкновении импульс сохраняется, а кинетическая энергия — нет. Почему? [дубликат]

Снаряд полностью останавливается при ударе по сравнению с пробитием и продолжением движения

Как молоток очень малого веса может приложить большую силу при ударе с высоты?

Понимание упругих столкновений объектов с одинаковыми скоростями

Изменяется ли полная кинетическая энергия при упругом ударе?