Вопросы по теореме Карно

Доказательство верхнего предела Карно, установленного для эффективности тепловых двигателей, более надежно, чем это. Цитаты, которые вы вставили, относятся к различным утверждениям второго закона термодинамики. Здесь я набросаю для вас некоторые идеи доказательства, главным образом для того, чтобы показать, откуда взялись эти формулировки (связанные с Карно) второго принципа. Неизбежно я буду повторять большую часть того, что вы, вероятно, уже знаете, но они повторяются больше в целях обсуждения. Ближе к концу я коснусь двух ваших основных вопросов более подробно.

Главный вопрос, поставленный Карно кстати, в основном таков: из второго принципа мы уже знаем, что невозможно построить тепловую машину, работающую только с одной тепловой ванной. Итак, встал вопрос: какова максимальная работа, которую мы можем совершить с тепловым двигателем, работающим обратимо между двумя тепловыми путями, с которыми он может обмениваться теплом?

Теперь с чисто схематической точки зрения мы знаем, что один такой двигатель должен описываться термодинамическим циклом, максимизирующим площадь под кривой на диаграмме PV! Итак, Карно решил придумать термодинамический цикл, удовлетворяющий этому требованию. Помните, что чистая полезная работа, обеспечиваемая системой, равна площади, заключенной в один замкнутый цикл, поэтому интуитивно мы уже имеем представление о типе расширений и сжатий, из которых должен состоять цикл: т. е. стоимость сжатия минимизируется за счет сжатие на холоде (минимальное$T$), и расширение, дающее максимальное количество работы, расширяясь при горячем (наибольшем$T$), отсюда и выбор двух основных обратимых (никаких потерь, никакого производства энтропии) изотермических частей сжатия и расширения цикла Карно. Вот диаграмма PV, взятая из Википедии («диаграмма pV цикла Карно». Лицензия CC BY-SA 3.0 через Commons):

Краткое напоминание о каждом шаге, а также о работе/тепле, переданном наружу (знак минус) или полученном (знак плюс):

• 1 к 2: обратимое изотермическое расширение,$T=T_1,$ $V_1 \to V_2,$ $W_1 = -RT_1 \ln{V_2/V_1}$и$Q_1 = RT_1 \ln{V_2/V_1},$отсутствие изменения внутренней энергии,$Q=-W$

• 2 к 3: охлаждение рабочего тела за счет обратимого адиабатического расширения, внутренняя энергия уменьшается только за счет работы,$Q_2=0,$ $V_2 \to V_3,$ $T_1 \to T_2$и$W_2 = C_v (T_2-T_1)$

• от 3 до 4: обратимое изотермическое сжатие на холоде$T=T_2,$ $V_3 \to V_4,$ $W_3 = -RT_2 \ln{V_4/V_3}$и$Q_3 = RT_2 \ln{V_4/V_3},$

• 4 к 1: нагрев за счет обратимого адиабатического сжатия:$T_2 \to T_1,$ $V_4 \to V_1,$ $Q_4 = 0$и$W_4 = C_v (T_1-T_2)$

Все ингредиенты для расчета теплового КПД$\eta_{Carnot}$, определяемый чистой работой, обеспечиваемой системой окружающей среде, деленной на общее количество полученного тепла за один цикл (важная идея состоит в том, чтобы использовать адиабатические преобразования , чтобы выразить$W$с точки зрения$T_{1,2}$и$V_{1,2}$). Когда это будет сделано, это должна быть уникальная функция двух температур термостата (в Кельвинах):

Что касается вашего второго вопроса, ключевая идея заключается в том, что никакой другой двигатель не может обеспечить большую эффективность, чем у Карно (что концептуально мы теперь ожидаем, что это правда, помните предыдущие пункты о том, как построить цикл, который максимизирует$\eta$), но это не означает, что нет других двигателей с обратимыми преобразованиями, которые не могут дать такой же КПД, например, двигатель Стирлинга (снова 4-тактный цикл):

Для двигателя Стирлинга можно показать, что КПД равен:

что должно убедить вас в том, что цикл Карно не уникален. Подводя итог, все это приводит еще к одному утверждению второго принципа термодинамики: не существует машины, выполняющей циклический процесс с эффективностью большей, чем$\eta_{Carnot}.$

Похоже, вам понравится читать классические книги по термодинамике; особенно хорош тот, что от Ферми . У него много хороших аргументов; коротко и просто, но логически герметично.

На ваш первый вопрос: необратимый процесс увеличивает энтропию Вселенной. Если бы необратимый двигатель имел такой же КПД, как и обратимый, мы могли бы запустить его вместе с обратимым в обратном направлении, достигнув точно такого же начального состояния Вселенной. Но мы увеличили энтропию Вселенной, запустив необратимый двигатель, поэтому в какой-то момент мы должны были снова уменьшить энтропию. Это невозможно.

По вашему второму вопросу: все реверсивные двигатели имеют одинаковую эффективность. Все эти двигатели выглядят примерно одинаково: вам разрешено передавать тепло от резервуаров только изотермически (с материалом двигателя при той же температуре, что и резервуары), и вам разрешено делать что-либо еще между ними. Карно делает промежуточную адиабатику, но вы могли бы сделать изохорию. Или адиабатическое в одну сторону и изохорное в другую. Или изобарическая, затем изохорная, затем адиабатическая и т. д. Вариантов масса.

Реверсивный двигатель является наиболее эффективным, и все реверсивные двигатели имеют одинаковый КПД. Это можно показать следующим образом: если есть машина X, которая более эффективна, чем R (реверсивный) двигатель, то мы могли бы обратить R, чтобы отдать теплому резервуару тепло, которое забрал X, но для этого нам нужно было бы взять больше тепла. из холодного резервуара, то X, потому что X более эффективен по предположению. В сумме работа X, уменьшенная на работу R при реверсировании, происходит только за счет отбора теплоты из холодного резервуара, что невозможно по второму закону. Формулировка Кельвина второго закона: невозможно такое изменение состояния системы, при котором единственным результатом было бы полное превращение некоторого количества теплоты в работу. Это утверждение о том, что тепло движется только в одном направлении, и это несколько феноменологическое утверждение второго закона.