Восстановление гамильтониана из лестничных операторов

Гамильтониан для квантового гармонического осциллятора равен

ЧАС ^ "=" − ℏ 2 2 м ∂ 2 ∂ Икс 2 + 1 2 м ю 2 Икс 2

и его можно попытаться разложить на множители, записав то, что позже окажется лестничными операторами собственного спектра

А ^ "=" м ю 2 ℏ ( Икс ^ + я м ю п ^ ) А ^ † "=" м ю 2 ℏ ( Икс ^ − я м ю п ^ )

Теперь на занятии, которое я курирую, студентов попросили «показать, что мы можем выразить гамильтониан ЧАС ^ с точки зрения А ^ † и А ^ ", с идеей получения соотношения

ЧАС ^ "=" ℏ ю ( А ^ † А ^ + 1 2 )

Способ решения этого вопроса состоит в том, что учащиеся должны просто «угадать» комбинацию. А ^ † А ^ это правильный путь или добраться туда методом проб и ошибок.

Вопрос: как лучше/наиболее интуитивно понятно объяснить, почему это так?

Письмо п ^ "=" − я ℏ ∂ Икс , легко оправдать использование той или иной формы квадратичной формы операторов, но почему бы, например, просто не возвести их в квадрат?

если вы понимаете немецкий, стр. 100 снизу + 101 в этих конспектах лекций весьма полезны: theorie.physik.uni-konstanz.de/burkard/sites/default/files/…
Квадратные корни нужно возводить в квадрат, а комплексно-сопряженные нужно умножать!
Становится яснее, когда вы пишете частичные значения по отношению к Икс с точки зрения п ^ . Затем вы просто возвращаетесь к алгебре и факторингу полиномов, где ( а 2 − б 2 ) был достаточно особым случаем, чтобы его стоило запомнить.
@dmckee Да, я это вижу - и именно так вы в первую очередь получаете своих операторов. Но, наоборот, есть ли какая-нибудь интуиция относительно того, почему мы принимаем А ^ † А ^ вместо А ^ 2 , помимо проверки того, что мы избавляемся от нежелательных перекрестных терминов?
Решить для Икс и п с точки зрения А и А † . Затем подставьте это в гамильтониан и упростите.

Ответы (4)

  • Мы знаем явный вид А и А † с точки зрения п и Икс .
  • Мы знаем выражение ЧАС с точки зрения п и Икс .

Так что просто выразить п и Икс как функция А и А † , затем подставьте результат в формулу для ЧАС . Для этого просто найдите А + А † и А − А † , остальные легко последуют.

Как насчет этого подхода:

  • Мы знаем, что измерения положения Икс ^ | н ⟩ давать реальные числа;
  • Мы знаем, что измерения импульса п ^ | н ⟩ давать реальные числа;
  • Мы знаем, что измерения энергии ЧАС ^ | н ⟩ также должны давать реальные числа.

Учитывая эти факторы, заметим, что если мы хотим построить оператор ЧАС ^ от какого-то оператора А ^ ∼ Икс ^ + я п ^ , то нам нужно как-то избавиться от я чтобы получить реальные значения энергии. Очевидным способом сделать это было бы умножить А ^ его эрмитовым сопряжением, чтобы исключить я , а затем посмотреть, что мы можем сделать с А ^ А ^ † .

Один отмечает, что

ЧАС "=" п 2 2 м + 1 2 к Икс 2 "=" 1 2 к ( Икс + я п м ю ) ( Икс − я п м ю ) ,
который предлагает форму операторов создания и уничтожения с точностью до соответствующих констант.

Кроме того, классические механические уравнения движения для Икс и п для гармонического осциллятора

Икс ˙ "=" п м , п ˙ "=" − к Икс .
Записано в матричной форме:
г г т ( Икс п ) "=" U ( Икс п ) , U "=" ( 0 1 / м − к 0 ) .
Матрица U таким образом связывает эволюцию Икс и п . Можно искать новые переменные Икс и п так что их эволюции разъединены; это сводится к нахождению собственных векторов U .

Несложно показать, что собственные значения U являются ± я ю , а собственные векторы

Икс "=" А ( Икс + я п м ю ) , п "=" Б ( Икс − я п м ю ) , ю 2 "=" к / м ,
которые пропорциональны операторам разрушения и создания соответственно.

Первый метод лежит в основе метода факторизации Инфельда-Халла, который, в свою очередь, тесно связан с суперпотенциалами в суперсимметричной квантовой механике.

Можно заставить искать энергию каждого фоковского состояния | н > и узнать, что это ℏ ю ( н + 1 2 ) (энергия осциллятора квантуется) и вы также можете видеть, что Н "=" а † а является числовым оператором. Н | н >= н | н >

Это имело бы смысл. К сожалению, я всего лишь демонстратор, а не лектор, и мне нечего сказать о том, что входит в листы задач... Так что все устроено только в терминах явных волновых функций и выражений для А ^ Я дал.
На самом деле это вопрос 2, а вопрос 1 показывает [ А ^ , А ^ † ] "=" 1 - Я думаю, просто для того, чтобы ученики видели, что они получают последовательные ответы, даже если они выбирают ЧАС ^ "=" ℏ ю ( А ^ А ^ † − 1 2 ) .
вы все еще можете поставить задачу на доске по-другому, что я бы и сделал.
Восстановление гамильтониана из лестничных операторов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v