Как напрямую оценить интеграл пути для гармонического осциллятора методом грубой силы?

1. Что касается гармонического осциллятора, то хорошо известно, что после вращения Вика

   $$t^E ~\equiv~ i t^M$$ к евклидову времени, то пропагатор Фейнмана /ядро/амплитуда равен $$K(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)~=~ \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\hbar \sinh(\omega\Delta t^E_{21}) }}\exp\left\{-\frac{1}{\hbar}S^E(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)\right\},\tag{1}$$ где $$S^E(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)~=~\frac{m\omega}{2}\left((x_2^2+x_1^2)\coth(\omega\Delta t^E_{21})-\frac{2x_2x_1}{\sinh(\omega\Delta t^E_{21})}\right) \tag{2}$$ является евклидовым действием Дирихле на оболочке.

2. Есть много способов установить экв. (1) путем прямой/грубой интеграции путей. Например:

   • Самый простой/элементарный метод, возможно, состоит в том, чтобы вставить конечное число$N$отношений полноты в перекрытие$\langle x_2,t^E_2;x_1,t^E_1 \rangle$, тем самым разбив его на$N+1$перекрытия равных временных шагов. Затем выведите отношение рекурсии в$N$, и возьмем континуальный предел$N\to \infty$см., например, ссылки. 4 и 5.

   • Вычислите функциональный определитель , см., например, Ref. 2 и связанный с ним пост Phys.SE. В качестве альтернативы используйте формулу Гельфанда-Яглома .

   • Для$\omega\Delta t^E_{21}\ll 1$, можно использовать пертурбативные методы ВКБ.

   • Если пропагатор Фейнмана/ядро/амплитуда$K(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)$известна свободная частица, есть гениальный прием, чтобы вывести$K(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)$для гармонического осциллятора см. Ссылка 3.

3. После того, как экв. (1) найдено, возможно, с помощью ручных аргументов, есть строгий способ проверить это: выполнить одно интегрирование по Гауссу по$x_2$чтобы проверить свойство интеграла пути

   $$K(x_3,t_3^E;x_1,t_1^E)~=~\int_{\mathbb{R}} \! dx_2~ K(x_3,t_3^E;x_2,t_2^E)~K(x_2,t_2^E;x_1,t_1^E), \tag{3}$$ которое является сигнатурным свойством суммы по историям. Уравнение (3) следует непосредственно из уравнений. (1)-(2), формула интегрирования Гаусса и формулы сложения для$\coth$&$\sinh$.

4. В частности, если ур. (1) изначально был установлен только для небольших времен,$\omega\Delta t^E_{21}\ll 1$, затем повторное применение ур. (3) можно использовать для установления уравнения. (1) для больших времен, в самом духе интеграции пути.

Использованная литература:

1. Р. П. Фейнман и А. Р. Хиббс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, 1965; уравнения (3.59)-(3.60).

2. Дж. Полчински, Теория струн, том. 1, 1998, Приложение А.

3. Л. Морикони, Элементарный вывод пропагатора гармонического осциллятора, Am. Дж. Физ. 72 (2004) 1258 , arXiv: физика/0402069 . (Подсказка: ОП .)

4. С. М. Коэн, Интеграл по траекториям для квантового гармонического осциллятора с использованием элементарных методов , Am. Дж. Физ. 66 (1998) 537 .

5. К. Хира, евро. Дж. Физ. 34 (2013) 777 .

Интеграл по путям в квантовой механике можно определить как

где, как отметил ОП, время «нарезается» на$N+1$отрезки, и идея состоит в том, что пропагатор задается формальным пределом как$N \to \infty$. Основываясь на этой статье , кажется, что сходимость была установлена ​​Фудзикавой в топологии оператора нормы, в$\mathcal{B}(L^2(\mathbb R^d))$при условии, что потенциал является гладким с не более чем квадратичным ростом (например, гармонический осциллятор).

Это было расширено, чтобы показать, что сходимость сохраняется, при условии, что производные во втором пространстве существуют в$H^{d+1}(\mathbb R^d)$. Эти результаты показывают, что мы можем ожидать действительного восстановления исходного пропагатора в континуальном пределе.

Однако для любого конечного$N$, мы не можем ожидать ничего, кроме аппроксимации пропагатора; мы можем, конечно, просто провести интегрирование конечное число раз. Фактически это то, что изначально делается для того, чтобы заметить возникающий паттерн, который позволяет принять$N\to\infty$предел.