В чем смысл коммутирующих гамильтонианов?

Question

В чем смысл коммутирующих гамильтонианов?

Матта

У меня есть два квантово-механических гамильтониана, такие что
$[{\hat{ЧАС}}_{1}, {\hat{ЧАС}}_{2}] "=" 0,$ $\begin{equation} [\hat{H}_1,\hat{H}_2] = 0, \end{equation}$ где $\hat{H}_1$ и $\hat{H}_2$ действуют на один и тот же набор состояний. Какой физический вывод можно сделать об этих двух гамильтонианах? Существуют ли другие математические тонкости, которые не были затронуты в статье « Каков физический смысл коммутации двух операторов? » для случая двух гамильтонианов?

Оглядываясь вокруг, у меня есть следующие свойства:

Рассматривая их как наблюдаемые, я могу измерять их одновременно.
Они имеют один и тот же набор собственных состояний, и поэтому любое состояние может быть расширено как их сумма.
Они оба могут быть одновременно диагонализированы.

Есть ли дополнительные свойства или тонкости в этих отношениях?

РЕДАКТИРОВАТЬ: отредактировано после комментариев, указывающих на то, что мало что можно сказать, действуют ли они по отдельности на разные подсистемы, кроме того факта, что они совместно используют собственные состояния при совместном воздействии на обе системы.

Любопытный

Хммм... можете ли вы объяснить, почему они должны иметь один и тот же набор собственных состояний? Если

H_{1}

$H_1$ действует на одно подпространство и

H_{2}

$H_2$ действует на независимое, они будут коммутировать, но структурно они могут быть совершенно разными и иметь совершенно разный набор собственных состояний. Ты не это имеешь в виду, верно?

Нуаралеф

@CuriousOne Если собственные значения

H_{1}

$H_1$ являются

| n >

$|n>$ и те из

H_{2}

$H_2$ являются

| m >

$|m>$ , то в полной системе они будут иметь общее множество собственных состояний

| n, m >

$|n,m>$ .

Гродельберт

Если

H_{1}

$H_1$ и

H_{2}

$H_2$ действуют на независимых подпространствах

V_{1}

$V_1$ и

V_{2}

$V_2$ соответственно, мы можем выбрать любой базис

V_{1}

$V_1$ для базиса собственных состояний

H_{2}

$H_2$ , так что, в частности, базис собственных состояний, связанных с

H_{1}

$H_1$ . Это означает, что существует общий набор собственных состояний.

любопытный разум

Два «гамильтониана» в общем случае действуют на разных пространствах состояний, т. е. каждому из них соответствует гильбертово пространство. Не очевидно, что вы имеете в виду, когда говорите о коммутаторе операторов в разных пространствах.

Любопытный

@Noiralef: Я думал, что это то, что имелось в виду ... это просто не очень сильное свойство.

Любопытный

@Хродельберт:

H_{1}

$H_1$ и

H_{2}

$H_2$ даже не обязательно должны иметь одинаковую размерность, поэтому нет абсолютно никаких оснований предполагать, что можно выразить один набор собственных состояний в базисах другого.

Матта

Вы все невероятно полезны, спасибо. Что, если они действуют в одном и том же пространстве состояний? Есть что сказать тогда?

Матта

Если получится интереснее то могу конкретизировать вопрос, чтобы можно было ответить.

Матта

Вопрос обновлен - надеюсь правильно.

Гродельберт

@CuriousOne Я не уверен, почему мы не согласны с этим: два гамильтониана должны быть определены в одном и том же гильбертовом пространстве.

H

$\mathcal{H}$ (иначе такое коммутаторное тождество изначально бессмысленно). Поэтому «действуя на разные подпространства» может означать только то, что мы можем написать

H = V_{1} \oplus V_{2}

$\mathcal{H} = V_1 \oplus V_2$ и написать

H_{1} = \tilde{H_{1}} \oplus 1

$H_1= \tilde{H_1} \oplus 1$ и

H_{2} = 1 \oplus \tilde{H_{2}}

$H_2= 1\oplus \tilde{H_2}$ , в соответствии с моим предыдущим комментарием

Любопытный

@Hrodelbert: Нетривиальные части обоих гамильтонианов не обязательно должны иметь одинаковую размерность, поэтому решение одного ничего не говорит вам о другом.

Гродельберт

@CuriousOne Вы абсолютно правы, но это никогда не было претензией: нам нужна только основа собственных состояний, которая возможна для этих гамильтонианов.

Любопытный

Однако тривиальное разделение переменных мало что дает. Я (и, вероятно, ОП тоже) надеялся на что-то более «сочное».

Гродельберт

@CuriousOne Понятно. Я только пытался донести мысль о том, что коммутирующие гамильтонианы действительно имеют общую основу собственных состояний, поскольку вы ставили под сомнение это в своем первом комментарии.

Любопытный

@Hrodelbert: предоставлено ... Я все еще надеюсь на большее. Есть идеи?

Александр

При анализе эволюции динамической системы — если гамильтониан системы коммутирует сам с собой в разное время — существует «простое» решение уравнения Шрёдингера (

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} U = H U

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}U=HU$ ),

| ψ (t) ⟩ = U (t) | ψ (t_{0}) ⟩

$|\psi(t)\rangle=U(t)|\psi(t_0)\rangle$ -

U (t) = e^{\frac{- i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} H (t) d t}

$U(t)=e^{\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^tH(t)\text{d}t}$ . Если это не коммутация -

U

$U$ дается своего рода «расширением Тейлора», называемым «серией Дайсона», что не очень красиво en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series

Ответы (2)

В чем смысл коммутирующих гамильтонианов?

Хммм... можете ли вы объяснить, почему они должны иметь один и тот же набор собственных состояний? Если $H_1$ действует на одно подпространство и $H_2$ действует на независимое, они будут коммутировать, но структурно они могут быть совершенно разными и иметь совершенно разный набор собственных состояний. Ты не это имеешь в виду, верно?
@CuriousOne Если собственные значения $H_1$ являются $|n>$ и те из $H_2$ являются $|m>$ , то в полной системе они будут иметь общее множество собственных состояний $|n,m>$ .
Если $H_1$ и $H_2$ действуют на независимых подпространствах $V_1$ и $V_2$ соответственно, мы можем выбрать любой базис $V_1$ для базиса собственных состояний $H_2$ , так что, в частности, базис собственных состояний, связанных с $H_1$ . Это означает, что существует общий набор собственных состояний.
Два «гамильтониана» в общем случае действуют на разных пространствах состояний, т. е. каждому из них соответствует гильбертово пространство. Не очевидно, что вы имеете в виду, когда говорите о коммутаторе операторов в разных пространствах.
@Noiralef: Я думал, что это то, что имелось в виду ... это просто не очень сильное свойство.
@Хродельберт: $H_1$ и $H_2$ даже не обязательно должны иметь одинаковую размерность, поэтому нет абсолютно никаких оснований предполагать, что можно выразить один набор собственных состояний в базисах другого.
Вы все невероятно полезны, спасибо. Что, если они действуют в одном и том же пространстве состояний? Есть что сказать тогда?
Если получится интереснее то могу конкретизировать вопрос, чтобы можно было ответить.
Вопрос обновлен - надеюсь правильно.
@CuriousOne Я не уверен, почему мы не согласны с этим: два гамильтониана должны быть определены в одном и том же гильбертовом пространстве. $\mathcal{H}$ (иначе такое коммутаторное тождество изначально бессмысленно). Поэтому «действуя на разные подпространства» может означать только то, что мы можем написать $\mathcal{H} = V_1 \oplus V_2$ и написать $H_1= \tilde{H_1} \oplus 1$ и $H_2= 1\oplus \tilde{H_2}$ , в соответствии с моим предыдущим комментарием
@Hrodelbert: Нетривиальные части обоих гамильтонианов не обязательно должны иметь одинаковую размерность, поэтому решение одного ничего не говорит вам о другом.
@CuriousOne Вы абсолютно правы, но это никогда не было претензией: нам нужна только основа собственных состояний, которая возможна для этих гамильтонианов.
Однако тривиальное разделение переменных мало что дает. Я (и, вероятно, ОП тоже) надеялся на что-то более «сочное».
@CuriousOne Понятно. Я только пытался донести мысль о том, что коммутирующие гамильтонианы действительно имеют общую основу собственных состояний, поскольку вы ставили под сомнение это в своем первом комментарии.
@Hrodelbert: предоставлено ... Я все еще надеюсь на большее. Есть идеи?
При анализе эволюции динамической системы — если гамильтониан системы коммутирует сам с собой в разное время — существует «простое» решение уравнения Шрёдингера ( $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}U=HU$ ), $|\psi(t)\rangle=U(t)|\psi(t_0)\rangle$ - $U(t)=e^{\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^tH(t)\text{d}t}$ . Если это не коммутация - $U$ дается своего рода «расширением Тейлора», называемым «серией Дайсона», что не очень красиво en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series

Qмеханик · Answer 1

Комментарии к вопросу (v2):

Кажется, что вопрос не объясняет, как «гамильтониан» $H$ отличается от самосопряженного оператора $A$ (предположительно ограниченный снизу). Это сделало бы вопрос OP дубликатом связанного поста Phys.SE.
Возможно, "гамильтониан" $H$ также предполагается генерировать «временную» эволюцию для некоторого выделенного параметра $t$ , что может быть или не быть реальным временем? Затем рассмотрим вселенную с двумя направлениями «времени». $t_1$ и $t_2$ , ср. например, этот пост Phys.SE. Два коммутирующих гамильтониана $[H_1,H_2]=0$ означает, что человек получает тот же результат, если в первый раз $e^{iH_1t_1/\hbar}$ относительно $t_1$ а затем "время"-эволюционировать $e^{iH_2t_2/\hbar}$ относительно $t_2$ , как можно было бы получить, если бы кто-то сделал это наоборот. Другими словами, $t_1$ и $t_2$ представляют коммутирующие потоки, и имеет смысл указать состояние с двумя «временными» координатами $(t_1,t_2)$ .

Гродельберт · Answer 2

По крайней мере, частичный ответ на ваш вопрос заключается в том, что коммутирующие гамильтонианы помогают вам решить физическую систему, описанную одним из них: в частности, если ваша система имеет $N$ степеней свободы, и у вас есть $N$ коммутирующих гамильтонианов, есть надежда, что вы сможете упростить задачу и решить ее точно. В классической механике это известно как интегрируемость по Лиувиллю (где коммутативность связана со скобкой Пуассона). В квантовой механике это понятие не совсем четко определено, хотя поиск термина «квантовая интегрируемость» даст вам достаточно материала для чтения. Из-за уравнения движения в картине Гейзенберга

\frac{д А}{д т} "=" [А, ЧАС],

$\frac{dA}{dt} = [A,H],$ где

A

$A$ является оператором, мы видим, что если

H_{1}

$H_1$ - гамильтониан, управляющий временной эволюцией,

H_{2}

$H_2$ сохраняется во времени. Но поскольку многие известные гильбертовы пространства бесконечномерны, использовать вышеизложенное на практике сложнее.

Обратите внимание, что для квантово-механических моделей, таких как спиновые цепочки ( $N$ неподвижные частицы, взаимодействующие через спиновые степени свободы), пространство состояний конечномерно, и все вышеперечисленное помогает.

Я не знаю, что даже одномерное уравнение Шрёдингера вообще можно проинтегрировать для произвольных потенциалов, так что даже полная независимость всех переменных не гарантирует, что задача имеет простое решение.
Нет, это правда. Но одномерное уравнение Шредингера также не представляется одномерным гамильтонианом: оно действует на пространстве функций, обычно бесконечномерном
Да, QM — зверь, даже для самого простого случая. Исторически мы можем радоваться тому, что проблема водорода имеет такое прекрасное решение, иначе у Шредингера возникло бы много хлопот, чтобы обосновать свое уравнение...

В чем смысл коммутирующих гамильтонианов?

Матта

Любопытный

Нуаралеф

Гродельберт

любопытный разум

Любопытный

Любопытный

Матта

Матта

Матта

Гродельберт

Любопытный

Гродельберт

Любопытный

Гродельберт

Любопытный

Александр

Ответы (2)

Qмеханик

Гродельберт

Любопытный

Гродельберт

Любопытный

Гродельберт

Канонические коммутационные отношения в произвольных канонических координатах

Ожидание коммутационного соотношения

Квантово-механический аналог сопряженного импульса

Коммутационное соотношение при временном порядке

Почему мы не используем метод Гамильтона-Якоби в QM?

Почему оператор симметрии коммутирует с гамильтонианом?

Коммутатор и факторизация собственных функций.

Экспоненциальная форма Вейля канонических коммутационных соотношений

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Как некоммутативность приводит к неопределенности?