Возможно ли полное математическое описание реальности?

Определенно существуют состояния систем (например, ума), которые не поддаются количественной оценке. Чтобы математика в принципе работала, нам нужны состояния, которые поддаются количественному определению или измерению. Значит ли это, что полное описание реальности в математических терминах невозможно?

Дэвид Чалмерс утверждает, что природа сознания, отвечающего за субъективный опыт, является чем-то врожденным для Вселенной. Пример, который он часто приводит, — это Мэри, нейробиолог, которая знает все, то есть знает физически о красном цвете, но все равно не будет знать красный цвет, когда впервые испытает его.

Кроме того, Витгенштейн в «Трактате» утверждает, что

Логическая картина фактов есть мысль.
Мысль есть предложение со смыслом.

Но все согласны с тем, что это оставляет много того, что можно назвать бессмысленным у Витгенштейна. Как он сам признает в своем последнем предложении

О чем нельзя говорить, следует молчать.

Итак, если существуют состояния мира, которые не могут быть должным образом выражены даже в языке, то как математика может описать такие состояния?

Итак, еще один вопрос: логична ли реальность?

Пожалуйста, оставьте комментарий о том, почему вы считаете, что это неуместный вопрос. У меня какое-то время возникал вопрос - насколько реальность может быть описана математикой?
Кто знает? И зачем утверждать, что «есть состояния мира, которые не могут быть должным образом выражены даже в языке». Если мы не можем описать их языком, то что/где они? А математика — это язык.
Под языком я имел в виду язык обычного дискурса. Да, математика — это язык, но он не такой гибкий, как, скажем, английский. Итак, я думаю, что могут быть предложения, которые могут быть выражены и поняты на английском языке, но не на языке математики, например, сказать: «Кофе «очень» горячий». Да, я понимаю, что в этом вопросе никто не разбирается в совершенстве, но все же это не означает, что некоторые люди искренне им занимаются. Итак, моя цель в том, чтобы кто-то указал на текущее состояние исследований/мыслей по этому поводу.
Кроме того, мы знаем, что физики небрежно говорят о теории всего. Не будет ли полезно, если кто-то может пояснить, что физики имеют в виду под всем. Любой после такой теории наверняка должен будет понять, на что его теория ответит или не ответит. Таким образом, это также предполагает априорный ответ на этот вопрос.
В математике есть множество объектов, которые нельзя выразить на английском языке или в математике. Например, почти все действительные числа. Причина проста: множество английских предложений или математических формул счетно. Набор действительных чисел больше, чем это - несчетно. Таким образом, подавляющее большинство действительных чисел не могут быть названы формулой или английским предложением.
@ причинный. «Значит, подавляющее большинство действительных чисел нельзя назвать… английским предложением». Но вы только что сделали именно это. Я не пытаюсь здесь умничать, я думаю, что был коллега Рассела, который указал, что многие вещи, несвязные в математических обозначениях, могут быть описаны совершенно связными предложениями,
@NelsonAlexander Мы можем назвать эти неназываемые числа набором либо на английском, либо на математическом языке, что, как вы сказали, я только что сделал выше. Чего мы не можем сделать, так это назвать любого из них или вывести формулу для каждого из них.
Есть системы, которые еще не поддаются количественной оценке . И вы неправильно поняли Витгенштейна. Он не говорит, что есть «состояния мира», которые не могут быть должным образом выражены в языке, он говорит, что мы должны перестать искажать язык, чтобы «выразить» то, чего нет, и в результате порождать бессмыслицу. Для него вопрос о том, логична ли реальность, был бы примером последнего — логика применима не к реальности, а только к языку. Вопрос о том, существует ли математическая «теория всего», еще не выяснен, и ожидается, что вопросы на этом сайте будут конкретными и требующими ответа.
@Conifold «логика не применима к реальности» и «логика применима к языку» - разве оба эти утверждения вместе взятые не означают, по крайней мере для Витгенштейна, что природа реальности не может быть должным образом описана языком?
@SwamiVishwananda этот вопрос действительно отвечает на часть вопроса, но я думаю, что вопрос здесь шире и может вызвать некоторые другие ответы / направления мысли.
Напротив, логика — это то, что позволяет описанию произойти, по крайней мере, на его идеальном языке, лестницей к которому должен быть «Трактат». Логика — это набор правил сборки для построения словесных «картинок» реальности, расширение грамматики, которое блокирует замаскированную тарабарщину. Вы должны следовать правилам, чтобы решить сборочную головоломку, но они ничего не говорят вам о содержании собранной головоломки. Тот факт, что вы должны следовать правилам, чтобы правильно использовать свой инструмент, не означает, что они имеют какое-либо отношение к тому, для чего он используется.
@Conifold, насколько я понимаю, вы выдвигаете версию аргумента о том, что «сумма больше / отличается от своих частей» в том смысле, что реальность может отличаться от суммы всей логики и составляющих, используемых для ее описания.
Я только предполагаю Витгенштейна, и нет, это не его тезис. Является ли целое больше суммы своих частей или нет, здесь не имеет значения. Логика не является составной частью или частью какой-либо суммы, описывающей реальность, это просто описывающий инструмент, репрезентативная помощь, как алфавит и карандаши.
«Определенно существуют состояния систем (например, ума), которые не поддаются количественной оценке». Говорит кто? Можете ли вы назвать хотя бы одного лауреата Нобелевской премии по физике, который придерживается этой точки зрения?
(На самом деле я знаю одного серьезного физика, который придерживается этой точки зрения, но даже он признает, что она противоречит почти всему остальному, во что он верит, и уж точно не основана ни на какой физической теории, а только на философском аргументе, который я нахожу довольно шатким. .)

Ответы (4)

Полнота в математике имеет особое значение . Теоремы Гёделя о неполноте показали, что это невозможно для математики в целом, и положили конец большинству оставшихся частей Гильбертовой программы, включая цель аксиоматизации физики.

Стивен Хокинг боролся здесь с последствиями для физики и природой того, чем могла бы быть Теория Всего: Гёдель и Конец Физики .

Теоремы Геделя антифундаментальны: «окончательный словарь» невозможен. Это потому, что умы, создающие и использующие язык, представляют собой странные петли с запутанными иерархиями, которые включают в себя самореференции и петли обратной связи. Чтобы разум понял мир, он должен также понять самого себя, что усложняет его, требует большего понимания, а эта задача никогда не может быть завершена. Разум динамичен, креативен и существует как взаимодействие, в том числе посредством интерсубъективности. Наилучшее понимание также должно быть динамичным, взаимодействующим, живым.

В качестве небольшой придирки к открытию, полнота в математике имеет несколько конкретных значений - и сам Гедель также показал, что в другом смысле стандартная логическая структура для математики полна ! Смотрите здесь .
В качестве более серьезного возражения, все, что исключает теорема Гёделя о неполноте, - это вычислимо аксиоматизируемая полная непротиворечивая теория, удовлетворяющая определенному техническому условию «прочности». Так что здесь есть немало нюансов — полная теория возможна , просто она должна быть довольно сложной.
@CriglCragl, вы предполагаете, что между математикой и реальностью существует однозначное соответствие? Насколько я понимаю, даже Хокингс говорит, что теорема Геделя относится к математике так же, как М-теория к физике. Он только подразумевает, что, поскольку теорема Геделя верна для математики, в физике может быть теория, которая является неполной, но это не предрешенный вывод, потому что мы все еще довольно далеки от физической теории, которая описывает все явления, которые мы каталогизировали...
... Итак, в принципе, я думаю, что есть возможности для законов, применимых ко всему физическому миру, таких как 2-й закон термодинамики, который приводит к появлению все новых и новых экзотических объектов с очень разными физиками из более основных компонентов.
@prateek: Но нет полного набора законов, чтобы понять эволюцию Вселенной. Нет аксиомы или аксиом, из которых можно вывести все. В математике или физике.
@CriglCragl — версия теоремы Геделя может говорить, что ни один набор законов не может сказать нам, остановится ли когда-нибудь произвольный физический компьютер или нет (и это может иметь последствия для других типов физических процессов, которые потенциально могут продолжаться вечно, но также потенциально могут останавливаться в зависимости от начальных условий). Но теорема Геделя не дает оснований полагать, что мы не сможем найти точные законы, определяющие, в каком состоянии будет находиться произвольная система в момент времени T1 при наличии достаточного знания ее состояния в момент времени T0, где T1-T0 — некоторый конечный интервал времени.
Вполне возможно иметь полный набор законов эволюции Вселенной. Вселенная — более ограниченный предмет, чем вся математика, поэтому теорема Гёделя о неполноте здесь неприменима. Законы игры жизни Конвея можно легко записать, и они полностью описывают, как состояние сетки меняется с течением времени. Вселенная не так проста, но не исключено, что в ней может быть аналогичный набор законов.
@causative: Стивен Хокинг думал иначе, как я связал. Он что-то пропустил? Вы лучше понимаете физику?
В вашей ссылке Хокинг использует теорему Геделя о неполноте как аналогию в частичном подтверждении своей идеи. Он не использует его дедуктивно, чтобы доказать что-либо о физике. например, «Но тогда наш опыт с супергравитацией и теорией струн, а также аналогия с теоремой Геделя предполагают, что даже эта формулировка будет неполной». Важно признать, что хотя догадка Хокинга может быть верной и никакая конечная аксиоматизация физики невозможна, верна она или нет, зависит от действительных законов физики. Игра жизни Конвея — это вселенная, в которой все неправильно.

Чтобы иметь возможность ответить «да», потребуется полное определение «реальности». Чем больше мы узнаем о нашей вселенной... нашей реальности... тем больше мы понимаем, как многого мы не знаем. Без этого полного определения этот вопрос остается без ответа.

Возможно, стоит задать вопрос: «Будет ли когда-нибудь наше понимание математики достаточным, чтобы полностью описать какое-то наше представление о том, какой может быть реальность?». На этот вопрос, глядя только на то, что было сказано в ответах на этот вопрос, я бы сказал... маловероятно.

Это зависит от законов физики.

Во-первых, обратите внимание, что в математике есть множество объектов, которые нельзя выразить в математике. Например, любой математической формулой названа лишь небольшая часть действительных чисел. Причина проста: множество математических формул счетно. Набор действительных чисел больше, чем это - несчетно. Таким образом, подавляющее большинство действительных чисел не могут быть названы формулой.

Однако можно описать определенные законы , управляющие всеми действительными числами, даже если большинство из них не могут быть индивидуально названы формулой.

Теперь, вот некоторые возможности для законов физики, вместе с последствиями каждой возможности для того, насколько хорошо математика может описать законы физики. Каждая возможность может относиться к одной из следующих категорий: вычислимая, вычислимая в пределе (аппроксимируемая), невычислимая, но описываемая, невычислимая или описываемая.

  1. Возможно, в основе своей пространство и время дискретны. Более того, может случиться так, что правило эволюции, которое выводит следующее состояние Вселенной из предыдущего, оказывается поддающимся вычислению. Если это окажется правдой, то математика сможет не только описать все во Вселенной — при наличии достаточного количества информации машина Тьюринга сможет идеально предсказать все это. (категория = вычисляемая)

  2. Возможно, в основе своей пространство и время дискретны, но правило эволюции невычислимо. В этом случае, сколько бы информации мы ни собирали, ни один компьютер не сможет точно предсказать, что сделают законы физики. Тем не менее, все еще возможно указать, что такое законы физики абстрактно, даже если мы не можем их рассчитать. (категория = вычислимая в пределе или категория = невычислимая, но описываемая)

  3. Возможно, в основе своей пространство и время непрерывны, но законы физики можно описать дифференциальными уравнениями, которые мы можем записать. Например, движение маятника непрерывно, но описывается простой системой дифференциальных уравнений. Если это так, то математика способна описать законы Вселенной. В зависимости от конкретных законов может быть или не быть возможным прогрессивное приближение к результату физического процесса настолько точно, насколько мы того пожелаем. (категория = вычислимая в пределе или категория = невычислимая, но описываемая)

  4. Возможно, в основе своей пространство и время непрерывны, а законы физики не поддаются описанию в математике. Это возможно, потому что множество всех возможных законов физики очень велико — по крайней мере, столько же, сколько действительные числа, потому что закон физики может включать действительное число в качестве параметра. А множество всех возможных законов физики, которые можно назвать математической формулой, гораздо меньше — счетно. В этом случае никакое математическое вычисление не может точно аппроксимировать или даже описать то, что происходит во Вселенной. (категория = невычислимая или описываемая).

Все четыре из этих возможностей логически возможны. Философия в конечном счете не может сказать, может ли Вселенная быть описана математикой; это дело физиков. Вполне возможно, что физики могли бы найти Теорию Всего, которая идеально описывает вселенную. Также возможно, что законы Вселенной принципиально не поддаются описанию математическими формулами. Это предстоит выяснить физикам.

Термин «реальность» является слишком общим, чтобы иметь в этом смысл. Но я считаю, что ответ однозначно Nein ! Любое математическое описание «реальности» было бы частью этой реальности и, следовательно, должно было бы описывать себя, приводя к парадоксам самореференции в теории множеств и к бесконечному регрессу Дросте.

введите описание изображения здесь

Представьте (контрфактически), что законы реальности оказались игрой жизни Конвея. Игра жизни Конвея завершена по Тьюрингу. Таким образом, модель в игре жизни Конвея может подражать машине Тьюринга, которая сама запускает игру жизни Конвея; в этом смысле нет проблем с самоописанием. Кстати, ознакомьтесь с концепцией квайн: en.wikipedia.org/wiki/Quine_%28computing%29 . У систем есть много законных способов описать себя без парадокса или противоречий. Только некоторые пути проблематичны.
Если это неясно, машина Тьюринга, эмулированная в игре жизни Конвея, которая сама симулирует игру жизни Конвея, является точной метафорой компьютера в нашей вселенной, который сам симулирует нашу вселенную. Очевидно, что эта машина Тьюринга не может моделировать всю сетку, в которой она находится, но нет никаких проблем с тем, чтобы машина Тьюринга моделировала меньший шаблон, чем она сама, что и делает компьютерное моделирование.
Интересный. Я плохо разбираюсь в математике, но математические саморепликаторы всегда казались мне подозрительными, особенно в предположительно физическом, фрикционном, термодинамическом контексте «всей реальности». И не была ли сама машина Тьюринга изначально демонстрацией неполноты? Я просто застреваю на любой осмысленной идее «полного самоописания».
Возможно ли полное математическое описание реальности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v