Вращательное сжатие

Question

Вращательное сжатие

Робджон

Я пытаюсь вычислить степень сжатия, вызванную вращением планет. Я представляю себе силу тяжести, добавленную к центробежной силе, вызванной вращением планеты, следующим образом:

$\hspace{4cm}$ силы

То есть в рассматриваемой точке, на широте $\phi$ , расстояние от оси вращения равно $r\cos(\phi)$ . Таким образом, центробежная сила будет $\omega^2r\cos(\phi)$ в направлении, перпендикулярном оси вращения. Радиальная и тангенциальная составляющие будут $\omega^2r\cos^2(\phi)$ и $\omega^2r\cos(\phi)\sin(\phi)$ , соответственно.

Я предполагаю, что поверхность планеты приспособилась бы так, чтобы она была перпендикулярна эффективной $g$ ; то есть сумма гравитационной и центробежной сил. Это привело бы к уравнению

\frac{д р}{р д ф} "=" - \frac{ю^{2} р потому что (ф) грех (ф)}{г - ю^{2} р {потому что}^{2} (ф)} .

$\frac{\mathrm{d}r}{r\,\mathrm{d}\phi}=-\frac{\omega^2r\cos(\phi)\sin(\phi)}{g-\omega^2r\cos^2(\phi)}.$ Здесь мы можем сделать несколько предположений, и я предположу, что

ω^{2} r

$\omega^2r$ мал по сравнению с

g

$g$ . Таким образом, мы получаем

\int_{экв.}^{нп} \frac{г р}{р^{2}} "=" - \frac{ю^{2}}{г} \int_{0}^{π / 2} потому что (ф) грех (ф) д ф

$\int_{\text{eq}}^{\text{np}}\frac{\mathrm{d}r}{r^2} =-\frac{\omega^2}{g}\int_0^{\pi/2}\cos(\phi)\sin(\phi)\,\mathrm{d}\phi$ что приводит к

\frac{1}{р_{нп}} - \frac{1}{р_{экв.}} "=" \frac{ю^{2}}{2 г}

$\frac1{r_{\text{np}}}-\frac1{r_{\text{eq}}} =\frac{\omega^2}{2g}$ и

1 - \frac{р_{нп}}{р_{экв.}} "=" \frac{ю^{2} р_{нп}}{2 г} .

$1-\frac{r_{\text{np}}}{r_{\text{eq}}} =\frac{\omega^2r_{\text{np}}}{2g}.$ Однако числовая оценка и Википедия , кажется, указывают на то, что это должно быть в два раза больше, чем я получаю. То есть,

1 - \frac{р_{нп}}{р_{экв.}} "=" \frac{ю^{2} р^{3}}{г м} "=" \frac{ю^{2} р}{г} .

$1-\frac{r_{\text{np}}}{r_{\text{eq}}} =\frac{\omega^2r^3}{Gm} =\frac{\omega^2r}{g}.$ Что я делаю не так?

Робджон

Я вижу, что это связано с тем, почему Земля такая толстая? . Одной из возможных ошибок в моих вычислениях может быть направление силы тяжести, создаваемой сплюснутым сфероидом. Однако это, по-видимому, зависит от распределения массы внутри сфероида. Фактор

2

$2$ между моей оценкой и оценкой Википедии, похоже, не учитывается, что причиной может быть массовое распространение.

Робджон

@WojciechMorawiec: Согласно симметрии, интегрирование через южное полушарие должно дать

r_{eq}

$r_{\text{eq}}$ вернуться к

r_{np}

$r_{\text{np}}$ .

Воля

@robjohn Фактор два, кажется, объясняется в ответе на вопрос, на который вы ссылались, из-за плохого приближения первоначальной обработки Земли как сферы в ваших расчетах.

Робджон

@Will: если бы это было так, то я бы ожидал, что ошибка будет зависеть от карты плотности сжатого сфероида. Формула в Википедии не предназначена специально для Земли, но она в два раза больше той, что я получил, по-видимому, независимо от плотности.

Робджон

Я собираюсь предположить, что в формуле Википедии есть невысказанные предположения и что на результат влияет массовое перераспределение, вызванное выравниванием. Если у кого-то есть более полный ответ или формула, которая действительно работает для вычисления степени сжатия вращающейся планеты, мне все равно интересно.

Ответы (2)

Вращательное сжатие

Я вижу, что это связано с тем, почему Земля такая толстая? . Одной из возможных ошибок в моих вычислениях может быть направление силы тяжести, создаваемой сплюснутым сфероидом. Однако это, по-видимому, зависит от распределения массы внутри сфероида. Фактор $2$ между моей оценкой и оценкой Википедии, похоже, не учитывается, что причиной может быть массовое распространение.
@WojciechMorawiec: Согласно симметрии, интегрирование через южное полушарие должно дать $r_{\text{eq}}$ вернуться к $r_{\text{np}}$ .
@robjohn Фактор два, кажется, объясняется в ответе на вопрос, на который вы ссылались, из-за плохого приближения первоначальной обработки Земли как сферы в ваших расчетах.
@Will: если бы это было так, то я бы ожидал, что ошибка будет зависеть от карты плотности сжатого сфероида. Формула в Википедии не предназначена специально для Земли, но она в два раза больше той, что я получил, по-видимому, независимо от плотности.
Я собираюсь предположить, что в формуле Википедии есть невысказанные предположения и что на результат влияет массовое перераспределение, вызванное выравниванием. Если у кого-то есть более полный ответ или формула, которая действительно работает для вычисления степени сжатия вращающейся планеты, мне все равно интересно.

Qмеханик · Answer 1

Как хорошо известно из оболочечной теоремы Ньютона , гравитационное поле $g(r)=\frac{GM}{r^2}$ вне сферически-симметричного распределения массы такое же, как если бы полная масса $M$ сидел в центре.

Кажется, что OP хочет рассчитать сжатие Земли, исходя из упрощающего предположения, что обратную реакцию (которую перераспределенная масса оказывает на гравитационное поле Земли) можно игнорировать. Другими словами, мы предполагаем, что гравитационное поле определяется только монопольным вкладом $g(r)=\frac{GM}{r^2}$ , и мы пренебрегаем высшими мультипольными моментами в мультипольном разложении .

I) Это то, что сделал Марк Эйхенлауб в этом посте Phys.SE. Для сравнения заменим широту $\phi$ с полярным углом $\theta=\frac{\pi}{2}-\phi$ . Полная потенциальная энергия представляет собой сумму потенциальной энергии гравитационного монополя и потенциальной центробежной энергии.

\begin{matrix} (1) & U "=" - \frac{г М}{р} - \frac{(ю р грех θ)^{2}}{2} . \end{matrix}

$U~=~- \frac{GM}{r}-\frac{(\omega r \sin \theta)^2}{2}. \tag{1}$

Дело в том, что (в этой идеализированной модели) поверхность Земли является эквипотенциальной поверхностью . («Иначе вода в океанах поспешила бы перераспределиться».) Сравнение экватора и северного полюса приводит к

\begin{matrix} (2) & г (а) час \approx \frac{г М}{б} - \frac{г М}{а} \overset{(1)}{"="} \frac{(ю а)^{2}}{2} > 0, \end{matrix}

$g(a)h~\approx~\frac{GM}{b}-\frac{GM}{a}~\stackrel{(1)}{=}~\frac{(\omega a)^2}{2}~>~0,\tag{2}$

где $a$ и $b$ – экваториальный и полярный радиусы Земли соответственно; и $h:=a-b\ll a$ - искомая разность высот. Уравнение (2) приводит именно к монопольному результату Марка Эйхенлауба для $h$ , который $\frac{2}{5}$ меньше, чем результат квадруполя .

II) С другой стороны, если мы дифференцируем уравнение. (1), мы получаем в точности формулу равновесия сил ОП

\begin{matrix} (3) & 0 "=" г U "=" (г (р) - (ю грех θ)^{2} р) г р - (ю р)^{2} грех θ потому что θ г θ . \end{matrix}

$0~=~\mathrm{d}U~=~\left(g(r)-(\omega\sin \theta)^2 r\right)\mathrm{d}r -(\omega r )^2\sin \theta \cos \theta \mathrm{d}\theta. \tag{3}$

В этот момент ОП игнорирует радиальную зависимость $g(r)$ , и рассматривает его как константу $g$ . Эта модель соответствует полной потенциальной энергии

\begin{matrix} (4) & В "=" г р - \frac{(ю р грех θ)^{2}}{2} . \end{matrix}

$V~=~ gr-\frac{(\omega r \sin \theta)^2}{2}. \tag{4}$

Сравнение экватора и северного полюса приводит к

\begin{matrix} (5) & г час "=" г б - г а \overset{(4)}{"="} - \frac{(ю а)^{2}}{2} < 0, \end{matrix}

$gh~=~g b-ga~\stackrel{(4)}{=}~-\frac{(\omega a)^2}{2}~<~0, \tag{5}$

который предсказывает вытянутую Землю , а не сжатую Землю .

III) Следующая OP предполагает, что один из центробежных членов $(\omega\sin \theta)^2 r \ll g$ в уравнении (3) мал и его следует игнорировать. Это означает, что ур. (3) уже не является совершенным дифференциалом. Однако интегрирующим фактором является $\frac{1}{r^2}$ , так что это приводит к первому интегралу

\begin{matrix} (6) & Вт "=" - \frac{г}{р} - \frac{(ю грех θ)^{2}}{2} . \end{matrix}

$W~=~ -\frac{g}{r}-\frac{(\omega \sin \theta)^2}{2}. \tag{6}$

Сравнение экватора и северного полюса приводит к

\begin{matrix} (7) & \frac{г час}{а б} "=" \frac{г}{б} - \frac{г}{а} \overset{(6)}{"="} \frac{ю^{2}}{2} > 0, \end{matrix}

$\frac{gh}{ab}~=~\frac{g}{b}-\frac{g}{a}~\stackrel{(6)}{=}~\frac{\omega^2}{2}~>~0, \tag{7}$

который замечательно воспроизводит монопольный результат Марка Эйхенлауба (2). Другими словами, два не очень малых приближения ОП сошлись.

Спасибо за Ваш ответ. Мне нужно время, чтобы переварить это. Я также рад, что вы предоставили ссылку на вопрос Марка Эйхенлауба. Там же я прочитаю ответы.

пользователь1086737 · Answer 2

пользователь1086737

Проблема в предположении:

... я предполагаю, что $\omega^{2}r$ мал по сравнению с $g$

Это означает: центробежная сила на экваторе пренебрежимо мала.
А это не может быть правдой, потому что планета была бы идеальной сферой.

(Примечание: слово «маленький» использовалось как «незначительный» при построении уравнения)

Робджон

Я включаю вклад центробежной силы; это

ω^{2} r \cos (ϕ)

$\omega^2r\cos(\phi)$ . Я предполагал, что вклад от перераспределения массы пренебрежимо мал. Очевидно, это не так.

пользователь1086737

Я имел в виду центробежную силу на экваторе (добавлено к ответу). Центробежная сила на экваторе пропорциональна

ω^{2} r

$\omega^{2}r$ а гравитационное пропорционально

g

$g$ .

Робджон

Я предполагаю, что

ω^{2} r

$\omega^2r$ мал по сравнению с

g

$g$ , не то, чтобы это незначительно. Если бы оно было незначительным, то не было бы вообще никакого сжатия. Это означает, что члены второго порядка в

ω^{2} r

$\omega^2r$ будет еще меньше по сравнению с

g^{2}

$g^2$ .

пользователь1086737

Если

ω^{2} r

$\omega^2r$ маленький, но не незначительный - может

ω^{2} r \cos^{2} (ϕ)

$\omega^2r\cos^2(\phi)$ исключить из интеграла?

Робджон

Я смотрю на вклады первого порядка. С

ω^{2} r / g ≐ 0.003433

$\omega^2r/g\doteq0.003433$ , приближая знаменатель с

g

$g$ скорее, чем

g - ω^{2} r \cos^{2} (ϕ)

$g-\omega^2r\cos^2(\phi)$ изменит результат не более чем

0.34 %

$0.34\%$ . Это намного меньше, чем наблюдаемая разница.

Вращательное сжатие

Робджон

Робджон

Робджон

Воля

Робджон

Робджон

Ответы (2)

Qмеханик

Робджон

пользователь1086737

Робджон

пользователь1086737

Робджон

пользователь1086737

Робджон

Выпуклость Земли и прецессия оси

Как объяснить экваториальную выпуклость Земли без центробежной силы?

Находится ли кажущаяся гравитационная сила на определенных частях вращающейся сферической планеты вне центра?

Почему на экваторе мы меньше весим, если центробежная сила вообще не является силой? [дубликат]

Почему Земля такая жирная?

Откуда мы знаем, что Земля не является идеальной сферой?

Может ли человек на экваторе подпрыгнуть на закате выше, чем на восходе?

Становится ли гравитация сильнее, чем выше вы находитесь на горе?

В чем причина вращения планет. Не орбитальное вращение [закрыто]

Экваториальный водопровод течет на уровне моря?