Эффект двойной трассировки деформации в AdS/CFT

Позвольте мне использовать эту статью в качестве ссылки для этого.

Я хочу лучше понять аргумент внизу страницы 6.

Если основная масса$AdS$метрика записывается как$\frac{1}{r^2}(dr^2 + A(r)ds_{boundary}(x)^2)$тогда поля свободных массивных скаляров на нем имеют вид$\phi = r^{\Delta_{+}}(\alpha(x)) + r^{\Delta_{-}}(\beta(x))$,около$r=0$. (...и цифры$\Delta_{\pm}$зависят от размерности AdS и массы поля..)

• По их обозначениям их «регулярное» граничное условие в объеме соответствует постановке$\beta(x)$(коэффициент$r^{\Delta_{-}}$) к нулю на границе и ставится «обычное» краевое условие$\alpha(x)$(коэффициент$r^{\Delta_{+}}$) до нуля.

  Как это совместимо с тем, что при использовании регулярного граничного условия дуальная КТП обязательно должна иметь член вида$\int d^d x \beta(x)O(x)$где$O$имеет измерение$\Delta_{+}$и$\alpha = \langle O \rangle$?

  Я думал, что они сами сказали, что в штатном сценарии$\beta$устанавливается на$0$на границе - то что это$\beta(x)$что фигурирует в пограничном действии?

• Ниже уравнения 3.19 они утверждают, что когда деформация двойного следа граничной КТМ отключена, она видит «неправильный» сценарий, а когда она обращена к бесконечности, она видит обычный сценарий.

  Но как можно утверждать, что регулярный сценарий является фиксированной точкой ИК, а нерегулярный сценарий является фиксированной точкой УФ для граничной CFT? Где этот аргумент?

• Переосмысление раздела 4 этой статьи по-другому. Предположим, кто-то хочет вычислить определитель объемной теории.$det(-\nabla^2 + m^2)$взяв произведение собственных значений. Кто-то хочет сказать, что вычисляет детерминант, когда объем был проквантован с$\Delta_{+}$граничное условие. (...по-видимому, можно задать тот же вопрос с$\Delta_{-}$также..)

  Если основная масса$AdS_{d+1}$то можно видеть, что асимптотика малых r ($r=0$– граница AdS в заплатке Пуанкаре) гармоник имеют вид$# r^{a} + # r^{b}$для некоторых значений$a$и$b$(которые зависят от собственного значения и$d$).

  Теперь, зная приведенную выше асимптотику малых r гармоник, как можно выбрать, какая из них будет вносить вклад в указанный выше определитель, скажем,$\Delta_{+}$граничное условие? Может кто-нибудь схематически набросать, как выглядит расчет?