Интеграл по траекториям и мнимое время в квантовой и статистической механике

Я наткнулся на формулировку интеграла по путям в квантовой механике и нашел множество веб-сайтов, статей и глав в книгах, объясняющих связь со статистической механикой. Общие рассуждения (насколько я понимаю) выглядят так:

Квантовая механика утверждает, что вероятность перехода частицы из А к Б является, слегка злоупотребляя обозначениями, пропорциональна

( ∑ все пути  А → Б опыт ⁡ ( я ℏ С [ А → Б ] ) ) 2
где А → Б это путь, и С это его действие. Аргумент в том, что пути нестационарных С отменяет.

Статистическая механика утверждает, что вероятность того, что система находится в состоянии Б пропорциональна

опыт ⁡ ( − 1 к Б Т Е ( Б ) )
где к Б постоянная Больцмана, Т это температура и Е ( Б ) является энергией или гамильтонианом B.

Связь между ними обычно устанавливается одним из двух способов:

  1. В статье Википедии говорится, что при вычислении уравнения КМ удобно забыть о интерферирующих волнах и просто заменить я к ( − 1 ) , позволив высокому С значения исчезают небольшими числами, а не интерференцией. Я понимаю, насколько это удобно, но не понимаю, почему это правильно или допустимое приближение. Лучшее, что я мог придумать в качестве показателя того, как эффект интерференции масштабируется с С является п ( С ) ∝ 1 / С 2 по-разному, но в основном в грех ⁡ ( Икс ) картина, обнаруженная при дифракции.

  2. Наиболее распространенный подход , по-видимому, заключается в том, что для согласования двух уравнений мы должны переключиться на «мнимое время» и заменить время т по обратной комплексной температуре ℏ / я Т к б , обозначенный как вращение фитиля . Теперь снова я понимаю, почему это действительно очень удобно, но помимо математического эффекта, заключающегося в том, что некоторая операция над формулой дает желаемый результат, я не вижу никакого физического обоснования.

Мои основные проблемы таковы:

  1. Я понимаю, что использование времени в качестве комплексной переменной оправдано в теории относительности. Однако приведенные выше модели, насколько я понимаю, нерелятивистские.
  2. Даже если бы он был сложным, почему он был бы пропорционален температуре? В статистической механике Т чаще всего считается постоянным в данном сценарии. т , напротив, никогда не бывает постоянным. Разве замена времени температурой (сложной или нет) не означает, что температура всегда должна меняться?
  3. Смысл вращения Вика, похоже, не в том, чтобы изменить смысл формулы, а в том, чтобы изменить формат. Итак, метрика Минковского». Икс 2 − т 2 становится евклидовой метрикой Икс 2 + ( я т ) 2 . Мы изменили − к + и т к я т , а формула остается прежней. В приведенном выше примере похоже, что мы только меняем т к я т , но оставив остальную часть формулы прежней - следовательно, «вращение» не отменяется, это другая формула. Например, вращение фитиля не [ Икс 2 − т 2 ] → [ Икс 2 − ( я т ) 2 ] , почему это должно быть опыт ⁡ ( я т Е ) → опыт ⁡ ( − т Е ) ?
  4. Даже если бы все это было возможно, я не понимаю, почему гамильтониан можно просто заменить лагранжианом в общем случае (ненулевой потенциал).

Кажется, что любой текст, который я нашел по этой проблеме, просто довольствуется сопоставлением выражений с помощью любого необходимого преобразования. Никогда (насколько я обнаружил) нет никакого физического обоснования или интерпретации, только то, что результат совпадает (или, может быть, связь очевидна, и я ее не вижу). Мне это кажется произвольным.

В сущности, что меня озадачивает, так это то, что я был бы счастлив использовать выражение

п ( А → Б ) ∝ опыт ⁡ ( − константа ⋅ С [ А → Б ] ) ,
и кажется, что все (= многие люди? некоторые?) действительно используют это, но я не могу понять, каково это оправдание или при каких ограничивающих (но действительных) предположениях это может быть правдой и почему.

Любая помощь или предложения будут высоко оценены. Спасибо!

Ответы (1)

Цитата По сути, меня озадачивает то, что я был бы счастлив использовать выражение

п ( А → Б ) ∝ опыт ⁡ ( − с о н с т ⋅ С [ А → Б ] )

Это не очень точно, вы должны попытаться связать статистическую сумму классической системы с интегралом по путям квантовой системы. Таким образом, правильным выражением будет:

С ∝ ты п   т о   ж я с к   р о т а т я о н ∑ п а т час с е Икс п я ℏ С [ п а т час ]

Как мы получаем такой результат?

Начнем со статистической суммы некоторой системы.

Z "=" ∑ с т а т е с е Икс п − β Е ( с т а т е )

Если мы введем некоторый полный базис для состояний | ψ > чем это можно переписать как:

Z "=" ∑ | ψ > < ψ | е Икс п ( − β ЧАС )   | ψ >= ∫ г | ψ > < ψ | е Икс п ( − β ЧАС )   | ψ >

теперь выполним вращение фитиля, если закрыть глаза на детали это простое средство подставив β "=" 1 к Т → я т что является простой заменой переменных. Мы нашли:

Z "=" ∫ г | ψ >< ψ | е Икс п ( − я ЧАС т ) | ψ >

Но сумма Фейнмана по путевому интегралу историй говорит нам, что: < Икс | е − я ЧАС т | Икс ′ >= ∫ Икс Икс ′ [ г Икс ] е я ∫ 0 т г т ′ л ( т ′ ) так что мы можем переписать это как:

Z "=" ∫ г | я н я т я а л с о н г я т я о н с   ψ >   ∫ | ψ > | ψ > г [ ф ты л л с о н ф я г ты р а т я о н с   | ψ > ] е я ∫ 0 β г т ′ л ( т ′ )

Последним шагом является некоторая интерпретация.

Мы видим, что конфигурация на т "=" 0 и т "=" β должны быть идентичны, поскольку мы эволюционировали из | ψ > при t=0 до | ψ > в т "=" β . Это реализуется за счет того, что время должно быть периодическим (= компактным) измерением с радиусом β .

Мы также видим, что мы интегрируем по всем возможным начальным условиям, это обычно реализуется в интеграл по путям с обозначением ∫ г | ψ > ∫ | ψ > | ψ > [ г | ψ > ] "=" ∫ [ г | ψ > ] .

Мы также заменяем я т → т Е что действительно соответствует изменению на евклидову сигнатуру индекса E.

Z "=" ∫ [ г | ψ > ] е − ∫ 0 β л Е г т Е

Где л Е является евклидовым лагранжианом, полученным заменой т "=" я т Е например:

Т "=" г Икс г т г Икс г т → Т Е "=" г Икс я г т Е г Икс я г т Е "=" − г Икс г т Е г Икс г т Е

В → В Е "=" В

Так что, как вы имели в виду: л Е "=" − ЧАС М я н к о ж с к я

Отказ от ответственности: возможно, я пропустил некоторые знаки здесь и там, но приведенное выше объяснение определенно должно помочь вам понять, что происходит!

Я очень ценю усилия и быстрый ответ, но должен признать, что даже в вашем объяснении я застрял с той же проблемой: почему мы можем заменить время на воображаемую температуру? Вы сказали, что это простое изменение переменных, но как я могу поменять местами переменные и (возможные) константы? Например, рассмотрим систему с постоянной (!) температурой T, в которой движется частица с x(t) = v*t. Заменив t на i/T, он движется с x(T) = iv/T. Теперь его положение определяется только константами и зависит от T (а раньше не было). Я не вижу смысла.
Проблема в том, что вы должны понимать, что в квантовой теории поля (интеграл по путям) отсутствует понятие температуры, а в статистической механике (статсумма) отсутствует понятие времени. Метод замены переменных работает только тогда, когда вы мыслите чисто КТП или статистическим мышлением, так что отдельные движения частиц никогда не могут иметь смысла!
Я вижу, что все это прекрасно сочетается математически , но физически для меня это звучит как замена вещей совершенно разными значениями в совершенно разных контекстах. Я не понимаю, почему тот факт, что QFT инвариантна с T , а SM инвариантна с t , означает, что эти модели можно и нужно приравнивать. Мне кажется, что дело обстоит наоборот. В любом случае вполне может быть, что это только я, так что еще раз большое спасибо за ваши усилия, чтобы прояснить вопрос. Это, безусловно, дало некоторые новые интересные идеи, которых я не видел раньше, хотя я все еще не совсем понимаю.
@ user7418923 Это чисто математический результат, вытекающий из метода расширения действительной (или мнимой) переменной на комплексную плоскость, а затем интегрирования по замкнутому пути в комплексной плоскости, скажем, по четверти окружности с центром в начале координат и имеющей прямую ребра вдоль действительной и мнимой осей. Если функция не имеет полюсов внутри пути, полный интеграл должен обращаться в нуль. Но когда вы позволяете радиусу окружности перейти к + ∞ и вклад от дуги четверти окружности становится равным нулю, у вас остается эквивалентность между интегралами по действительной и мнимой осям.
@udrv Большое спасибо за вклад, но боюсь, я до сих пор не полностью вижу связь. Вы имеете в виду контурную интеграцию, верно? Но я так понимаю формулировка не позволяет радиусу двигаться в ∞ , а вместо угла. Например, при повороте опыт ⁡ ( я т ) в опыт ⁡ ( − Т ) , с Т "=" − я т , выражение просто в другом виде, но эта форма все же не типа "экспоненциального затухания", т.к. Т является строго мнимым, а потому колебательный характер выражения только скрыт, но остается неизменным — не так ли?
Да, это контурная интеграция, но нет, это не тот угол, ∞ . Если вы начнете с опыт ⁡ ( − β Е ) , продолжение на комплексную плоскость означает β Е → г "=" β Е + я η , где η является произвольным и реальным. Тогда у вас есть β Е + я т "=" р опыт ⁡ ( я ф ) и экспонента становится опыт ⁡ ( − р е я ф ) . Четверть круга в контуре имеет р "=" с о н с т . , 0 ≤ ф ≤ π / 2 , и его вклад исчезает как р → ∞ . См. соответствующий пост о вращении фитиля, math.stackexchange.com/questions/335414/… .
Мне также интересно, почему кажется, что во всех обсуждениях и объяснениях евклидовой КТП после вращения фитиля смешиваются два разных аспекта. Я прекрасно понимаю, как можно более умно выполнять интегралы, используя аналитическое продолжение и изменяя контур. Я не понимаю, как это можно интерпретировать как статистическую статистическую механику: / Конечно, показатель степени избавляется от явного i, но результат интеграла в любом случае должен быть одинаковым, поэтому показатель степени в целом может быть сложным только как раньше, да?
Интеграл по траекториям и мнимое время в квантовой и статистической механике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v