Второй закон Кеплера: сохранение энергии или углового момента?

Умножьте обе части вашего уравнения на массу, и вы получите равенство величины углового момента в перигее и апогее. В этих точках скорость перпендикулярна положению, поэтому$|\mathbf{L}|=|\mathbf{r}\times m\mathbf{v}|=mvr$.

Говоря современным языком, второй закон Кеплера выражает сохранение углового момента, а не сохранение энергии. Но это часто указывается в терминах геометрии , как в Википедии :

Линия, соединяющая планету и Солнце, проходит равные площади за равные промежутки времени.

Чтобы увидеть связь между этим утверждением Второго закона, относящимся к площади, и сохранением углового момента, вспомните, что величина векторного произведения двух векторов — это площадь параллелограмма, который они образуют. Половина этого — площадь треугольника, который они образуют.

Представьте, что треугольник стирается с течением времени.$dt$по вектору положения$\mathbf{r}$как это меняется на$\mathbf{v}dt$. Бесконечно малая площадь выметается

$$dA=\frac12|\mathbf{r}\times\mathbf{v}dt|$$

потому что одна сторона треугольника$\mathbf{r}$а другая сторона есть$\mathbf{v}dt$.

Таким образом

$$\frac{dA}{dt}= |\mathbf{r}\times\mathbf{v}|=\frac{|\mathbf{L}|}{m}=\text{constant}.$$

Таким образом, скорость, с которой площадь сметается, постоянна, потому что угловой момент постоянен.