Угловой момент и второй закон Кеплера

Позвольте мне в предисловии сказать, что я понял суть сохранения углового момента, по крайней мере, качественно. Чтобы лучше проиллюстрировать свой вопрос, я рассмотрю случай планеты, вращающейся вокруг звезды.

Если предположить, что уравнение для углового момента выглядит следующим образом:

л "=" м * р * в

Где:

м = представляет собой объединенную массу системы звезда-планета

р = орбитальное расстояние (большая полуось) планеты

в = орбитальная скорость планеты

Теперь, поскольку масса более или менее постоянна, мы проигнорируем это. Кроме того, согласно второму закону Кеплера, планета должна вращаться быстрее, чем ближе она находится к своей родительской звезде, и наоборот. Вот чего я не понимаю:

Если мы уменьшим р на определенную сумму, не означает ли это, что в должен также увеличиться на ту же величину, чтобы полный угловой момент сохранился? Если это так, то почему на практике это не так? То есть для меня совершенно очевидно, что орбитальная скорость планеты не увеличивается на ту же величину, на которую уменьшилось ее орбитальное расстояние.

Я надеюсь, что это ясно. Я пытаюсь понять взаимосвязь между ними rи vс точки зрения того, как они компенсируют друг друга, чтобы сохранить L. Интуитивно одно должно увеличиться на ту же величину, на которую уменьшилось другое, но почему-то это не кажется мне реалистичным сценарием. Что я неправильно понимаю?

РЕДАКТИРОВАТЬ: благодаря комментарию Билла Н. ниже, я считаю, что мое непонимание связано с тем, что я предположил, что увеличения и уменьшения являются аддитивными, хотя на самом деле они мультипликативны. Пожалуйста, не стесняйтесь добавлять более релевантные комментарии, в противном случае считайте этот вопрос ответом.

Вы делаете утверждение: «То есть для меня совершенно очевидно, что орбитальная скорость планеты не увеличивается на ту же величину, на которую уменьшилось ее орбитальное расстояние». Но вы не даете никаких доказательств. Экспериментальные доказательства с каждого спутника, каждой планеты и каждой кометы, которые мы когда-либо измеряли, говорят о том, что очевидное для вас ложно. И помните, что увеличения и уменьшения не являются аддитивными, это мультипликативные отношения. Если вы хотите привести какие-то доказательства, сделайте это. Вы не заявили ни о каком реалистичном "недоразумении". Вы только выразили недоверие.
Существует также фактор грех ⁡ θ что не учтено в вашей формуле для л . θ угол между радиальным вектором и вектором скорости. л "=" м в р грех ⁡ θ .
Не могли бы вы уточнить, что вы подразумеваете под «мультипликативными коэффициентами»? Я думаю, что это то, что я ошибся. Кроме того, я на самом деле не утверждал. Извините, если это прозвучало именно так. Я искренне не понимаю ситуацию.
Неважно. Теперь я понимаю. Большое спасибо!

Ответы (1)

Угловой момент планетарного и спутникового орбитального движения остается постоянным в первом порядке, потому что гравитационная сила не оказывает крутящего момента на систему. Это означает, что в каждой точке орбиты спутника, измеренной относительно центра силы (звезды или, возможно, планеты в случае луны или искусственного спутника), л "=" мю в р грех ⁡ θ , где мю – приведенная масса системы. Поскольку крутящий момент равен нулю и мю постоянно, в р грех ⁡ θ должен быть постоянным. Угол θ угол между вектором положения, р → от центра силы к спутнику и вектору скорости, в → .

Давайте сравним две орбитальные точки, перицентр (самое близкое сближение, р → п ) и апапсид (самая удаленная точка, р → а ), эллиптической орбиты. Центр силы будет находиться в фокусе эллипса. В обеих этих точках θ "=" 90 о , так

в п р п "=" в а р а .
Потому что р а > р п мы быстро видим, что
в п "=" в а р а р п > в а
или, говоря словами, скорость в перицентре больше скорости в апапсисе в отношении р а р п . В промежуточных точках, грех ⁡ θ меньше 1, но никогда не стремится к нулю. Самая низкая скорость наблюдается в апапсисе, и скорость увеличивается непрерывно и предсказуемо, но нелинейно до периапсиса. Фактическая величина ускорения зависит от эксцентриситета эллипса, а также от большой полуоси. Более подробную информацию можно найти в любой университетской книге по механике среднего уровня.

Недостаточно баллов на Physics SE, чтобы проголосовать, но еще раз спасибо за подробности! Вот тут я изначально ошибся. Я предположил, что увеличения/уменьшения были аддитивными (именно так это звучит при качественном описании).
@BillN Привет, Билл. Не могли бы вы пояснить, почему угловой момент остается постоянным в первом порядке ? Предполагая, что планеты имеют идеальную форму, не является ли постоянство углового момента точным?
Есть и другие планеты, которые взаимодействуют друг с другом. Эффекты крутящего момента очень малы на планете (большой массе), но мы используем их, чтобы вывести спутники малой массы на разные орбиты. Вот как мы доставили «Вояджеры» и «Новые горизонты» к Плутону и дальше.
Угловой момент и второй закон Кеплера
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v