Вычисление интеграла Гаусса по путям с ограничением нулевого режима

$a(\tau)$это функция на$[0,1]$так что вы можете разложить его в ряд Фурье

$$a(\tau) = c \tau + a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos( 2\pi n \tau) + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin( 2\pi n \tau)$$ В своем вопросе вы не указали никаких граничных условий на$a(\tau)$так что я не знаю, периодически это или нет. Апериодичность$a(\tau)$захватывается первым членом выше. Учитывая ваш окончательный ответ, я думаю, что он должен быть периодическим, поэтому я собираюсь установить$c=0$.

Используя это, находим

$$\int_0^1 d\tau a^2 = a^2_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n^2 + \sum_{n=1}^\infty b^2_n , \qquad \int_0^1 d\tau a = a_0$$ Интегральная мера пути $$\int {\cal D} a = {\cal N} \int_{-\infty}^\infty da_0\prod_{n=1}^N\int_{-\infty}^\infty da_n db_n$$ ${\cal N}$является общей нормировкой, которую мы исправим, перенормировав интеграл по путям. Обратите внимание, что мы также ввели отсечку УФ-излучения.$N$. $N \to \infty$предел будет взят после перенормировки.

Возвращая все обратно в интеграл по путям, мы имеем

$$\begin{align} Z &= \int {\cal D} a \delta \left( \int_0^1 d\tau a - {\bar \mu} \right) \exp \left( - \frac{1}{g^2} \int_0^1 d\tau a^2 \right) \\ &= {\cal N} \int_{-\infty}^\infty da_0\prod_{n=1}^N \int_{-\infty}^\infty da_n db_n \delta ( a_0 - {\bar \mu}) \exp \left( - \frac{a_0^2}{g^2} - \frac{1}{g^2} \sum_{n=1}^N a_n^2 - \frac{1}{g^2} \sum_{n=1}^N b^2_n ] \right) \end{align}$$ Интеграл по$a_0$локализуется благодаря дельта-функции. Остальные интегралы являются простыми гауссианами. Поэтому, $$\begin{align} Z &= {\cal N} ( g^2 \pi )^N \exp \left( - \frac{{\bar \mu}^2}{g^2} \right) \end{align}$$ Теперь мы можем установить${\cal N} = \alpha ( g^2 \pi )^{-N}$где$\alpha$— произвольная конечная константа, а затем возьмем$N \to \infty$ограничение, поэтому мы получаем $$\begin{align} Z &= \alpha \exp \left( - \frac{{\bar \mu}^2}{g^2} \right) . \end{align}$$ Теперь, без дополнительной информации, нормализация$\alpha$из$Z$не может быть исправлено. Однако ОП, кажется, задает этот вопрос в контексте статьи 2112.03793 (это было разъяснено мне в комментариях @ɪdɪətstrəʊlə), где авторы налагают условие нормализации $$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int d {\bar \mu} Z = 1 \quad \implies \quad \alpha = \frac{1}{g}.$$ В итоге, $$Z = \frac{1}{g} \exp \left( - \frac{{\bar \mu}^2}{g^2} \right)$$

Хотя ответ @Prahar верен, когда речь идет об экспоненциальном поведении, то есть о нулевом режиме, я не согласен с их способом получения префактора. $\frac{1}{g}$поведение имеет решающее значение, а не вопрос нормализации . В частности, они не учитывают, что в таких вычислениях дзета-функция должна упорядочивать полученные определители.$^*$.

Прежде чем углубляться в сектор ненулевого режима, позвольте мне для полноты изложить эффект нулевого режима. Если мы разложим$a$в$a= a_0 + a'$, где$a_0$является константой (нулевая мода) и$a'$являются непостоянными, нециклическими, периодическими функциями (и, следовательно,$\int_0^1 \mathrm{d}\tau \;a' = 0$), ясно, что

$$\int_0^1\mathrm{d}\tau a = a_0$$ и$\mathrm{D}a=\mathrm{d}a_0\; \mathrm{D}a'$. Тогда дельта-функция будет влиять только на нулевую моду и, следовательно, $$Z=\int \mathrm{d}a_0\ \delta\left(a_0-\bar{\mu}\right)\ \mathrm{e}^{-{a_0^2}/{g^2}}\ Z_\text{non-zero-mode}[g] = \exp\!\left(-\frac{\bar{\mu}^2}{g^2}\right)\ Z_\text{non-zero-mode}[g].$$

Теперь сектор ненулевого режима является гауссовским, свободным от ограничений и читается просто

$$\begin{aligned} Z_\text{non-zero-mode}[g] &= \int \mathrm{D}a' \exp\!\left(-\frac{1}{g^2}\int \mathrm{d}\tau \ a^2\right) = \\ &= \left[\det'\!\left(\frac{1}{g^2}\mathbb{I}\right)\right]^{-1/2} = \\ &= \left(\prod_{n\neq 0} \frac{1}{g^2}\right)^{-1/2} = \prod_{n=1}^\infty g^2 \overset{\zeta}{=} \frac{1}{g}.\end{aligned}$$ где$\mathbb{I}$тождественный оператор, действующий на пространстве периодических функций и$\det'$исключает нулевую моду, которая рассмотрена отдельно выше. Последнее равенство понимается в регуляризации дзета-функции$^\dagger$

Всего у нас есть

$$\begin{aligned}Z[g,\bar{\mu}] &=\int\mathrm{D}a\ \delta\left(\int_0^1\mathrm{d}\tau a - \bar{\mu}\right)\ \exp\!\left(-\frac{1}{g^2}\int\mathrm{d}\tau a^2\right)=\\ &=Z_\text{non-zero-mode}[g,\bar{\mu}]\ Z_\text{zero-mode}[g,\bar{\mu}] = \\ &= \frac{1}{g}\ \exp\!\left(-\frac{\bar{\mu}^2}{g^2}\right), \end{aligned}$$ получение желаемого ответа.

---

$^*$Как действительно отметил @Prahar в комментарии, можно использовать другой метод регуляризации и получить тот же$g^{-1}$поведение. Однако нельзя просто установить нормализацию статистической суммы для получения желаемого результата, поскольку в этом случае нормализация уже зафиксирована.

$^\dagger$Помните, что$\prod_{n=1}^\infty \text{constant} \overset{\zeta}{=} \exp(\log(\text{constant})\ \zeta(0))=\frac{1}{\sqrt{\text{constant}}}$.