Определитель пропагатора

Скажем, у меня есть интеграл пути ∫ Д ф опыт ⁡ ( я С 0 ) . С 0 обычное свободное действие

С 0 "=" 1 2 ∫ ф ( − ◻ − м 2 ) ф "=" 1 2 ∫ ф г − 1 ф ,
и на данный момент меня не интересуют взаимодействия. Когда я делаю эту интеграцию, я просто получаю такой термин, как ( дет г ) − 1 / 2 , то есть энергия нулевой точки. Обычно я не забочусь об этом, и это поглощено нормализацией интеграла пути.

Но скажем, что этот пропагатор зависит от параметра, и я хотел бы фактически сохранить этот определитель. Как я на самом деле вычислить его? Я знаю, что могу сделать трюк

( дет г ) − 1 / 2 "=" опыт ⁡ ( − 1 2 Тр бревно ⁡ г )

но тогда мне пришлось бы вычислять что-то вроде (после вращения Вика и перехода в импульсное пространство)

∫ г г к ( 2 π ) г бревно ⁡ ( 1 к 2 + м 2 )

который, конечно, расходится (потому что у меня бесконечно много гармонических осцилляторов) и требует некоторой перенормировки. Отсюда мой вопрос: как вычислить такой определитель?

Рассмотрим обмен обратным детерминантом на интеграл по путям по фермионному скалярному полю (что нарушает спиновую статистику). Это даст вам дополнительные правила Фейнмана и, таким образом, сохранит желаемую зависимость от параметра. Хорошо работает для калибровочных теорий.
Но я все еще буду в той же ситуации, не так ли? У меня нет взаимодействий, поэтому я поменяю теорию, свободную от скаляра, на теорию, свободную от призраков, но мне все равно нужно будет вычислить энергию нулевой точки.
Да вы правы. Но я не могу себе представить, как ваш определитель может быть физически значимым, если он не зависит от полей (что дало бы взаимодействие с призраками). Вы всегда можете добавить постоянный член к лагранжиану, верно? Этот член даст постоянный неопределенный множитель в интеграле по путям, который поглощает ваш определитель.
Определение этой константы было бы моей целью! Причина, по которой я заинтересован в этом, заключается в том, что я рассматриваю эффективную теорию поля, где я сначала интегрирую поле, а затем у меня остается еще один интеграл по траекториям. Так что поглощать определитель пропагатора при нормализации я не могу в принципе
Хорошо, я нашел это physics.ucsd.edu/~mcgreevy/s13/215C-lectures.pdf . Здесь, в разделе 2.3.1, он выполняет вычисления и просто добавляет дополнительный множитель к 2 в интеграле, поскольку в противном случае логарифм имел бы размерный аргумент. Таким образом, интеграл корректно определен и сходится, если взять достаточное количество производных. Я не уверен, почему нам разрешено просто добавлять дополнительный к 2 хотя бы в логарифме
Почему бы тебе тогда не обменять определитель на призраков? Второй интеграл по путям должен содержать условия взаимодействия с фантомом, и поэтому вы сможете оценить его пертурбативно.
Ну тогда я бы совсем не улучшил свое положение. Моя цель - получить эффективное действие для одного поля, поэтому я хотел бы, чтобы в моем интеграле по путям осталось только одно поле.
Вероятно, было бы полезно, если бы вы подробно объяснили свою проблему и предоставили соответствующие формулы.

Ответы (2)

Вы можете просто вычислить интеграл, используя предпочитаемый вами метод регуляризации (отсекающий, размерный, Паули-Вилларса...), и если все пойдет хорошо (что не гарантируется), расхождения не будут зависеть от вашего параметра, и в конечном итоге они будут исчезают, когда вы вычисляете физические вещи. Если этого не происходит, возможно, ваша теория просто плохо определена.

А что касается добавления дополнительного коэффициента к 2 как упоминалось в комментариях, мы знаем, что добавление трассировки п ⁡ к 2 добавил бы (для физических приложений) нерелевантную константу (которая в размерной регуляризации, кроме того, равна нулю), так что вы можете добавить ее, когда захотите.

Насколько я знаю, проще всего выполнить интегрирование вручную для целочисленных измерений (т.е. Mathematica дает вам интеграл в терминах гипергеометрических функций, но это не очень полезно). Вы можете вывести интеграл (с жесткой отсечкой Λ ) по отношению к м 2 , выполнить интеграл, разложить по м / Λ , а затем интегрировать обратно. Может быть полезно вычесть константу ∫ к п ⁡ к 2 .

В случае г "=" 3 , вы должны получить Λ 2 π 2 м 2 − м 3 6 π . Обратите внимание, что первый член не является (обязательно) проблематичным и может иметь очень физическую интерпретацию. Например, в контексте Н релятивистские бозоны в пределе Н → ∞ (хорошо известная модель в конденсированных средах), этот член соответствует перенормировке параметра, управляющего системой через фазовый переход между упорядоченной и неупорядоченной фазами.

Определитель пропагатора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v