Регуляризация одномерного лапласиана

Отказ от ответственности: это технический вопрос о регуляризации функциональных детерминант, который исходит от человека с (относительно) сильным опытом в КТП, теории струн и интегралов по траекториям, который хочет понять этот предмет еще лучше.

Большинство моих вопросов по этой теме остались без ответа. Но я остаюсь оптимистом :)

Пытаюсь следовать выводу из книги Полякова "Калибровочные поля и струны". Он выводит релятивистский пропагатор Клейна-Гордона в евклидовой теории первого квантования, натянутой на континуальный интеграл Полякова.

Функциональный интеграл берется по внутренней геометрии (фактор-пространство всех метрик мировых линий$h(\tau)$над диффеоморфизмами$f(\tau)$; мера на факторпространстве обозначается$Dh/Df$) и над вложениями мировой линии в целевое евклидово пространство-время (которые кодируются функциями вложения$X^{\mu}(\tau)$). Пропагатор рендерит

$$\tilde{G}(p) = \int \frac{Dh}{Df} \int DX \exp\left\{ -\frac{1}{2} \intop_{0}^{1} d\tau \sqrt{h(\tau)} \left[ h^{-1} \dot{X}^2(\tau)-\mu^2 \right] \right\}\cdot e^{ i\, p_{\mu} \,\cdot\, (X(1) - X(0))^{\mu} } = \frac{Z_R}{p^2 + \mu_R^2}.$$

В первой части вывода получается факторпространственная мера

$$\int \frac{Dh}{Df} = \int \frac{dT}{\sqrt{T}} \cdot \sqrt{\det{\Delta}},$$

где

$$T[h] = \intop_0^1 d\tau \sqrt{h(\tau)}$$

- длина мировой линии (единственный инвариант одномерной римановой геометрии), а одномерный лапласиан действует на функции$\omega: [0, T] \rightarrow [0, T]$как

$$\left( \Delta \omega \right) (t) = - \frac{d^2 \omega(t)}{dt^2}.$$

Эту часть я успешно воспроизвел.

Вторая часть заключается в том, чтобы взять$DX$интеграл по путям, который является гауссовым:

$$\int DX \dots = \frac{(2\pi N) ^{ND/2}}{(T)^{ND/2}} \cdot \exp \left\{ \frac{T}{2} \left( p^2 + \mu^2 \right) \right\},$$

где$N$– количество шагов дискретизации ($N = T / \Delta t$) и$D$есть размерность пространства-времени. Эту часть я тоже воспроизвел.

Заключительной частью будет взять (числовой, 1-мерный) интеграл

$$\tilde{G} (p) = \int \frac{dT}{\sqrt{T}} \cdot \sqrt{\det \Delta} \cdot \frac{(2\pi N) ^{ND/2}}{(T)^{ND/2}} \cdot \exp \left\{ \frac{T}{2} \left( p^2 + \mu^2 \right) \right\}.$$

С$\det \Delta$расходится, мы должны его упорядочить.

Я попытался написать произведение собственных значений$\Delta$с отсечкой$\epsilon = N^{-1}$:

$$\det \Delta = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\pi n}{T} \right)^2 = \lim_{N \rightarrow \infty} \pi^n T^{-N} \cdot \Gamma(N+1) = \pi ^{\frac{1}{\epsilon }} T^{-1/\epsilon } \exp \left(\frac{-\log (\epsilon )-1}{\epsilon }+\frac{1}{2} \log \left(\frac{2 \pi }{\epsilon }\right)+O\left(\epsilon ^1\right)\right) = u(\epsilon) \cdot \exp \left\{\epsilon ^{-1} \log T \right\}$$

где$u(\epsilon)$какой-то$T$-независимый дивергентный фактор. Проблема с этим выражением в том, что оно дает неверный пропагатор.

Вместо этого Поляков использует регуляризатор, которого я не понимаю:

$$\log \det \Delta = - \intop_{\epsilon^2}^{\infty} \frac{d\tau}{\tau} \sum_n e^{-\tau \lambda_n},$$

где$\lambda_n = (\pi n / T)^2$являются ненулевыми собственными значениями$\Delta$. Эта регуляризация дает правильную форму$\tilde{G}(p)$(с общим нормировочным коэффициентом$Z$и масса$\mu$перенормирован), что на моем нынешнем уровне понимания я считаю чудом.

Я немного подумал над этим вопросом, и наиболее многообещающее объяснение неудачи моей регуляризации и успеха регуляризации Полякова (кроме того факта, что он намного умнее меня, конечно) состоит в том, что я мог бы использовать другие$\epsilon = N^{-1}$в регуляризациях определителя и$DX$интеграл пути, который дал бы мне неверный общий результат.

У меня есть следующие два вопроса:

1. Правильно ли предположить, что дело в этом?

2. Даже если это так, я все еще не понимаю, как показать, что его регуляризация использует правильное определение$N$(что совпадает с количеством ломтиков, используемых в$DX$интеграция), а мой нет.