Вы правы, говоря, что$I$позволяет связать угловую скорость и угловой момент линейным образом. Это просто не так просто, как случай импульса и скорости. Интуиция о том, почему все усложняется, заключается в том, что$L = r \times p$включает перекрестное произведение, которое делает его очень чувствительным к выбору определенного набора ортонормированных базисов (с фиксированным началом). Пока$p=mv$включает скалярную массу, которая не зависит от вашего выбора координат.

Чтобы объяснить тензор инерции, я думаю, мы могли бы начать с более простых случаев, когда присутствует достаточная симметрия (например, сфера в 3D или круговой блин в 2d),$L = I(\omega)$сводится к$L = I\omega$где$L$и$\omega$являются векторами и$I$просто скаляр. Интуиция для этой редукции состоит в том, что симметрия делает$I$напоминать$m$более. Как я упоминал ранее, масса всегда не зависит от выбора координат. но$I$не зависит только от координат, которые СОХРАНЯЮТ симметрию. Следовательно, со сферами и круглыми блинами довольно легко иметь дело, и тензор инерции не нужен.

Но для общего протяженного твердого тела в 3D отсутствие симметрии нарушает простое линейное соотношение. Предположим, у вас есть ортонормированный базис, начало которого лежит в углу куба, а оси совпадают с ребрами куба. В основном, когда куб вращается вокруг оси z, все части куба также мгновенно вращаются в других направлениях (если вы нарисуете схему, это будет ясно). Поэтому$\omega_z$влияет$L_y$и$L_x$. Я не вижу интуитивного объяснения количественных деталей. Но этот простой пример куба показывает, что$L_x, L_y, L_z$каждый должен быть линейной комбинацией$\omega_x, \omega_y, \omega_z$. И математическое выражение, определяющее это, должно быть матрицей.

*Математический отход: эта матрица сама по себе не является тензором, а представляет собой ПРЕДСТАВЛЕНИЕ тензора, который отображает векторы угловой скорости в ДВОЙНЫЕ векторы углового момента. В нотации абстрактного индекса$L_\alpha = I_{\alpha\beta}\omega^\beta$Вы увидите много подобных обозначений в E&M, Relativity и т.д.

Итак, здесь мы говорим о двух разных вещах. Похоже, вы не возражаете против некоторых расширенных обозначений, поэтому я попытаюсь использовать их, чтобы проиллюстрировать математическую сторону физики, о которой я говорю.

Жесткость и ось вращения

Одна из вещей, о которых мы говорим, заключается в том, что объект является жестким , что означает, что он состоит из группы частиц, расстояния между которыми фиксированы. Математический способ сказать это состоит в том, что в любой момент времени оно должно быть представлено изометрией , а группа изометрий равна$T(3) \times O(3).$Фактически, изометрия должна быть непрерывной с тождеством, поэтому в нормальном бесконечном евклидовом пространстве мы можем указать$T(3) \times SO(3),$переводы плюс повороты. Просто чтобы проработать основную идею, пусть греческие индексы будут координатами, а латинские индексы будут частицами, чтобы мы могли использовать суммирование Эйнштейна для греческих индексов. Я попытаюсь использовать некоторые явные метрические тензоры$g_{\alpha\beta}$для обозначения скалярного произведения, чтобы латинские и греческие индексы были явно разделены. Частицы имеют векторы положения$r_n^\alpha$но расстояния между этими частицами постоянны, поэтому

$$\frac{d}{dt} \left[g_{\alpha\beta} ~(r_m^\alpha - r_n^\alpha)~(r_m^\beta - r_n^\beta)\right] = 2 g_{\alpha\beta} ~(r_m^\alpha - r_n^\alpha)~(\dot r_m^\beta - \dot r_n^\beta) = 0.$$ Учитывая ориентацию (полностью антисимметричную$[0,\;n]$тензор$\epsilon$на нашей$\mathbb R^n$пространстве) мы можем описать вращение с$[n-2,\;0]$тензор$\Omega$как $$\dot r^\beta_m = \chi^\beta + g^{\beta\gamma}\epsilon_{\gamma\delta\Lambda}~\Omega^\Lambda~r_m^\delta.$$ Эта функциональная форма приводит к тому, что вышеуказанный термин$\epsilon_{\alpha\delta\Lambda}~\Omega^\Lambda~R_{mn}^\alpha~R_{mn}^\delta = 0$из-за антисимметрии$\epsilon$термин, где точная форма$R^\alpha_{mn} = r^\alpha_m - r^\alpha_n$неважно, как и$\Omega^\Lambda$не имеет значения, при выводе этого$0$. Это чисто от антисимметрии. В 2D,$\Omega^\Lambda$является скаляром; в 3D это вектор; в более высоких измерениях это тензор, но в каждом случае он превращается в эту антисимметричную матрицу$\Omega_{\gamma\delta} = \epsilon_{\gamma\delta\Lambda} ~\Omega^\Lambda.$Тот факт, что все повороты могут быть представлены этими антисимметричными матрицами, будет очень полезен в данный момент. Я не уверен, появляются ли в более высоких измерениях и другие термины; я думал просто: «Вам нужна либо скорость, чтобы исчезнуть прямо, либо быть перпендикулярным положению».

Угловой момент

Во-вторых, из-за того, что формулы для кинетической и потенциальной энергий не зависят от вращения (непрерывная симметрия), существует сохраняющийся нетеровский ток, связанный с этой симметрией: угловой момент. В этом случае наш лагранжиан имеет вид

$$\frac12 \sum_n m_n g_{\alpha\beta} \dot r_n^\alpha \dot r_n^\beta - \sum_{mn} U_{mn}\left[g_{\alpha\beta} ~ (r_m^\alpha - r_n^\alpha)~(r_m^\beta - r_n^\beta)\right],$$ для некоторого набора сильных потенциалов, которые заставляют тело оставаться жестким$U_{mn}.$Поскольку они осесимметричны, а кинетический член осесимметричен, теорема Нётер говорит, что мы, следовательно, выбираем сохраняющуюся величину для любого бесконечно малого смещения, подчиняющегося симметрии.$\delta r^\alpha$из $$Q = \sum_n \frac{\partial L}{\partial \dot r_n^\alpha} ~\delta r_n^\alpha.$$ Опять же поворот превращается несмотря ни на что в антисимметричную матрицу,$\delta r_n^\alpha = g^{\alpha\mu}~\delta\phi_{\mu\nu}~r_n^{\nu},$поэтому вышеприведенное становится: $$Q = \sum_n m_n g_{\alpha\beta}~\dot r_n^\beta ~g^{\alpha\mu}~\delta\phi_{\mu\nu}~r_n^{\nu}= \delta\phi_{\mu\nu}~\sum_n m_n~\dot r_n^\mu ~r_n^{\nu} = \delta\phi_{\mu\nu}~Q^{\mu\nu}.$$ Следовательно, эта сохраняющаяся величина имеет$[2,\;0]$тензорный характер, так как мы можем выбрать любую ось для этого вращения. Более того, любая симметричная часть этого тензора будет уничтожена антисимметрией вращения, так что без потери общности мы можем антисимметричизовать и его. Обычная запись для этого состоит в том, чтобы написать$Q^{[\mu\nu]}$с квадратными скобками, $$Q^{[\mu\nu]} = \frac12 (Q^{\mu\nu}-Q^{\nu\mu})=\sum_n m_n ~\dot r_n^{[\mu} ~r_n^{\nu]}.$$

Объединяя их

Мы видели здесь два принципиально разных выражения: одно — тензор угловой скорости$\Omega_{\alpha\beta}$, что связано с жесткостью системы; другой - тензор углового момента$Q^{\mu\nu},$которое вытекает из симметрии в уравнениях движения. Очевидно, что они не определены одинаково , но оба они антисимметричны. Какова связь между ними? Это легко: подставьте вращательный член из$\Omega$выражение для$\dot r_n^\beta$в тот же$\dot r$слагаемое в кинетической энергии найти:

$$Q^{[\mu\nu]} = -\left[\sum_n m_n~r_n^{[\nu}~g^{\mu]\gamma}~r_n^{\delta} \right]~\Omega_{\gamma\delta}.$$ Здесь мы видим, что$[4,\;0]$тензор линейно связывает их и имеет$\nu$-$\delta$и$\mu$-$\gamma$симметрия, но$\nu$-$\mu$антисимметрия. Таким образом, они всегда находятся в прямой зависимости через этот тензор момента инерции, и это в основном потому, что скорости частиц относительно центра масс вносят непосредственный вклад в угловой момент и напрямую определяются вращением.

Конечно в$\mathbb R^3$проще работать с векторами углового момента и угловой скорости; мы пишем$Q^{\mu\nu}$как$Q_\lambda~\epsilon^{\lambda\mu\nu}$и обратите внимание, что для наиболее распространенной ориентации (где$\epsilon_{123} = 1$) у нас есть$\epsilon^{\alpha\beta\gamma}\epsilon_{\beta\gamma\delta} = 2\delta^\alpha_\delta,$так что

$$Q_\lambda = \frac12 \left[\sum_n m_n~\epsilon_{\lambda\mu\nu}~g^{\mu\gamma}~r_n^\nu ~r_n^\delta~\epsilon_{\gamma\delta\kappa} \right] \Omega^\kappa.$$ Итак, в$\mathbb R^3$мы находим прямой$[0,\;2]$-тензорная связь между одними и теми же величинами, потому что обе матрицы углового момента являются скрытыми векторами углового момента.

Я не совсем уверен, что правильно расписал здесь все детали, но это общая история. Эти две концепции различны отчасти потому, что одна содержит «массовые» идеи, отличающиеся в разных направлениях, а другая — нет; но они оказываются линейно связанными через члены$\dot r_n^\alpha$. Это тайно антисимметричные матрицы с линейным соотношением, но они могут быть преобразованы с понижением частоты в$\mathbb R^2$скалярам или в$\mathbb R^3$к векторам или в$\mathbb R^4$к парам векторов в$\mathbb R^3.$

Чтобы получить интуицию, я рекомендую начать не с определения, а с проблемы, которую вы пытаетесь решить. А именно, для твердого тела$B$, с определенной угловой скоростью$\vec{\omega}$относительно его центра масс, каков его угловой момент$\vec{L}$? Определить «момент инерции» как свойство$B$который определяет ценность$\vec{L}$данный$\vec{\omega}$.

При таком определении «момент инерции» в принципе мог бы быть какой-то ужасно сложной функцией, которая каким-то нелинейным образом зависит от формы твердого тела. Ведь существует бесконечно много возможных входных векторов$\vec{\omega}$, и априори они могут привести к значениям$\vec{L}$в соответствии с каким-то сумасшедшим расчетом, который требует от вас точного отслеживания точного положения каждой частицы в твердом теле.

Что спасает нас от этого кошмара, так это то, что выходной вектор$\vec{L}$линейно зависит от входного вектора$\vec{\omega}$. Как мы можем убедиться, что это правда? Что ж, довольно интуитивно понятно, что если вы удвоите$\vec{\omega}$тогда ты удвоишься$\vec{L}$, так что это хорошее начало. Что менее очевидно, так это то, что если$\vec{L}_1$угловой момент, соответствующий определенной угловой скорости$\vec{\omega}_1$, и$\vec{L}_2$угловой момент, соответствующий определенной угловой скорости$\vec{\omega}_2$, то угловой момент, соответствующий$\vec{\omega}_1 + \vec{\omega}_2$является$\vec{L}_1 + \vec{L}_2$. Но интуитивно в этом можно убедиться, если представить частный случай, когда$\vec{\omega}_1$точки вдоль$x$-ось и$\vec{\omega}_2$точки вдоль$y$-ось, и вы вычисляете угловой момент бесконечно малого элемента твердого тела в$(x,y)$вращение сначала в соответствии с$\vec{\omega}_1$, то согласно$\vec{\omega}_2$, и, наконец, согласно$\vec{\omega}_1 + \vec{\omega}_2$. И если линейность имеет место на бесконечно малом уровне, то она должна иметь место и для всего твердого тела, потому что интегрирование линейно.

Как только вы установили, что$\vec{L}$линейно зависит от$\vec{\omega}$, вы в основном сделали; это то, что представляет собой тензор ранга 2 — что-то, что дает вам выходной вектор из входного вектора линейным способом. Так что момент инерции не является непостижимо сложной функцией твердого тела; поскольку это тензор второго ранга в трех измерениях, он определяется (не более) 9 числами. Эти числа отражают сопротивление тела крутящему моменту в трех независимых направлениях, а линейность позволяет нам получить его сопротивление крутящему моменту в любом направлении . направлении.

Кстати, такой способ мышления также помогает понять, что момент инерции — это некое физическое свойство объекта, которое существует независимо от выбора нами системы координат. Угловая скорость и угловой момент являются физическими, и соотношение между ними зависит только от физической структуры твердого тела. Представление о тензоре момента инерции как о независимой от координат линейной связи между независимыми от координат величинами (векторами) позволяет нам вывести закон преобразования при изменении координат (в отличие от принятия закона преобразования в качестве определения тензора, которое я дал всегда казался очень запутанным.)

Еще одно замечание. Вышеупомянутое упражнение с бесконечно малым элементом твердого тела помогает понять, почему тензор момента инерции не описывается одним числом. То есть,$\vec{L}$не просто скалярное кратное$\vec{\omega}$, потому что одна и та же угловая скорость относительно двух разных осей приведет к разным величинам углового момента в зависимости от того, насколько далеко масса находится от оси вращения. Итак, нам нужно более одного числа. Теперь, как вы, несомненно, знаете, тензор момента инерции на самом деле является симметричным тензором, поэтому вам на самом деле не нужно 9 чисел для его описания; 6 номеров достаточно. Эта симметрия не следует только из того общего факта, что$\vec{L}$зависит от$\vec{\omega}$линейным способом; это особый факт о механике твердых тел. Но я думаю, что основным препятствием для интуиции является понимание того, что физически означает тензор ранга 2, и именно на этом я сосредоточился здесь.

Тензор инерции - это объект, который говорит нам, как угловая скорость преобразуется в кинетическую энергию или угловой момент, и поэтому он играет ту же роль, что и масса в прямолинейном движении. Чтобы физически понять, почему этот коэффициент преобразования является просто числом в одном случае, а тензором в другом, мы просто должны отметить, что обе величины представляют собой полную инерцию системы.

В силу изотропии пространства инерция частицы при прямолинейном движении полностью определяется одним параметром — массой. Однако при вращательном движении разные оси вращения одного и того же тела в целом показывают разную инерцию, и одного скаляра будет недостаточно для описания того, как угловая скорость преобразуется в кинетическую энергию. Для полного описания инерции тела относительно данной точки нам в общем случае необходимо шесть параметров, три для фиксации ориентации координатных осей и три для количественной оценки инерции относительно каждой из этих осей.

Имея шесть чисел, которые необходимо указать, инерция тела требует представления по крайней мере симметричного тензора второго ранга. Если тело имеет определенную симметрию, общее количество различных параметров уменьшается. Например, рассмотрим фиксированную однородную сферу с центром в начале координат. Что касается этой точки, то все ориентации осей эквивалентны, поэтому нам не нужны никакие параметры для фиксации системы координат. Причем повороты по каждой из трех осей также равноценны, инерция должна быть одинаковой. Следовательно, инерция однородной сферы описывается одним единственным скаляром, а тензор инерции кратен единичному тензору.

Я также столкнулся с той же проблемой, пока недавно не понял значение индексов.

Хотя существует множество определений тензора, нам остается решить, какое из них приемлемо для того контекста, в котором мы находимся.

$I_{xy}$означает, насколько 3D-объект будет ускорен в$y$оси, когда я применяю крутящий момент в$x$ось.