Непостоянная угловая скорость на орбите

Давайте разделим это на две части: во-первых, демонстрация того, как это работает для подготовленного физика, имеющего доступ к инструментам многомерного исчисления, а во-вторых, исследование того, как вы могли бы объяснить это студентам на вводном занятии, основанном на алгебре и тригонометрии ( без расчетов).

Сложный вид

Подобно тому, как правильная формулировка ньютоновского динамического правила$\vec{F}_\text{net} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}$скорее, чем$\vec{F}_\text{net} = m \vec{a}$, правильная формулировка динамического правила для поворотов (обработка случая с фиксированной осью, поэтому мы можем обойтись без векторной записи):

$$\begin{align} \tau_\text{net} &= \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} \\ &= \frac{\partial L}{\partial \omega} \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial L}{\partial I} \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \\ &= I \alpha + \omega \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\;. \end{align}$$ Конечно, в случае твердых тел, находящихся в свободном вращении, мы имеем $\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = 0$чтобы это стало $$\tau_\text{net} = I \alpha \;,$$ но для изменяемых объектов или случаев, когда ось вращения движется, нам нужны оба термина.

Далее, когда чистый внешний крутящий момент равен нулю, мы можем написать

$$I \alpha = -\omega \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \;.$$

Вид на класс

У студентов нет математического инструментария для разбора приведенного выше аргумента в письменной форме, поэтому нам нужно предоставить какой-то каркас.

Работайте как проблема сохранения

(По предложению Acccumulation в комментариях.)

Если у вас есть правило сохранения углового момента, вы просто придерживаетесь

$$\begin{align} L_f &= L_i \\ I_f \omega_f &= I_i \omega_i \\ \end{align}$$

Введите идею о том, что вам нужен термин для изменения инерционной тенденции

Я попробовал это в комментариях, и, как вы сказали, это менее чем удовлетворительно, потому что эти проблемы «сбрасывают нагрузку прямо вниз» действительно затрагивают несколько частей системы, что не совсем аналогично рассматриваемому вопросу.

Вы сообразительный студент, скорее всего, поймете разницу, если их представить вместе.

Решить его на уровне сил и моментов, чтобы мотивировать необходимость второго срока

(Это то, что вы просили в своем последующем комментарии.)

Ключевым наблюдением здесь является отслеживание одного элемента массы через изменение радиуса от$r_1$к$r_2 \ne r_1$. ¹ В течение времени, когда происходит радиальное изменение, масса продолжает двигаться «вокруг» центра вращения, но траектория элемента массы не является окружностью с центром на оси. Это означает, что результирующие силы, действующие на элемент массы, не являются центростремительными, и поэтому они оказывают ненулевую работу на элемент массы:$\vec{F}_\text{net} \cdot \vec{s} \ne 0$.

Попросите учащихся проверить это самостоятельно.

Но это заставляет поступательную кинетическую энергию элемента массы увеличиваться при приближении к центру или уменьшаться при движении наружу. В любом случае нет пути для$\omega$оставаться постоянным.

Тем не менее для центральных сил у нас еще есть$\tau = 0$. Но это приводит к противоречию, если вы настаиваете на том, что$\tau_\text{net} = 0$является полным правилом для этой системы. В результате мы должны ввести часть, которая зависит от изменения$I$.

---

¹ Это совершенно естественно для орбитальной задачи, которую вы предлагаете, но стоит сказать прямо, чтобы мы помнили, когда будем работать с изменчивыми твердыми объектами во вращении.

У меня нет возможности просто комментировать, поэтому я попытаюсь превратить это в ответ.

Такое впечатление, что "обрыв логики" наступает при попытке применить$\tau_{ext}=I/\alpha$к этой проблеме. Это заставило меня просмотреть имеющиеся у меня учебники, и только в одном из них (Холлидей и Резник из прошлого) прямо говорилось, что это уравнение применимо только к твердым телам, хотя именно так оно и было получено. Это часто упускается из виду, как и предупреждение о том, что$F=ma$применяется только к задачам с постоянной массой. Кажется, это может быть хорошим уроком для студентов, поскольку они должны понимать пределы уравнений, которые им дают.

Прямая аналогия между упомянутой проблемой угля и желоба — падение концентрического невращающегося обруча на вращающийся диск. Вот ты изменился$I$простыми для расчета способами и не имеющими внешних крутящих моментов (если ваша система состоит из двух объектов).

Очень простой случай отсутствия внешних крутящих моментов (нет периода силы!) и изменяющейся угловой скорости (таким образом,$\alpha\neq 0$), который похож на вашу проблему, - это отдельная частица, движущаяся в плоскости xy параллельно оси x с y = 1. Угловой момент вокруг начала координат постоянен, но угловая скорость становится очень большой вблизи оси и стремится к нулю вдали от начала координат. С$I$меняется, нельзя использовать уравнение аналогии Ньютона.