Выполняется ли p=mcp=mcp=mc для фотонов?

Как известно, у фотонов нет массы.

Соотнося релятивистский импульс и релятивистскую энергию, получаем:

$E^2 = p^2c^2+(mc^2)^2$.

где$E$это энергия,$p$импульс,$m$это масса и$c$это скорость света.

Так как масса равна нулю,$E=pc$.

Теперь мы знаем, что$E=hf$. Тогда мы получим импульс для фотона.

Обратите внимание, что существует термин, называемый эффективной инерционной массой. У Фотона она есть.

Если мы начнем с$E^2=(cp)^2+(c^2m)^2$как релятивистски правильное уравнение в единицах энергии (в квадрате), то мы можем попытаться извлечь$v$от него, а не пытаться поставить$v$в другие уравнения и надеюсь, что все получится.

Итак, давайте разделим все на$E^2$, мы получаем$1=(cp/E)^2+(c^2m/E)^2$что тоже правильно. И поскольку мы обычно не беспокоимся о$E=0$, деление на$E$обычно не о чем сильно беспокоиться. Но теперь все безразмерно, если мы хотим получить хороший результат о скоростях, мы можем умножить на$c^2$получить:

$c^2=(c^2p/E)^2+(c^3m/E)^2$, или

$(c^2p/E)^2=c^2-(c^3m/E)^2$.

Теперь вещь слева имеет единицы скорости (в квадрате), и это что-то меньше, чем$c^2$по величине. Это не совпадение, потому что на самом деле это скорость[1].$v=c^2p/E$(в 2d или 3d пространстве поместите векторные стрелки над$v$и$p$везде так$\vec{v}=c^2\vec{p}/E$) является совершенно правильным уравнением для скорости в терминах$p$и$E$, просто используйте:

$\vec{v}=c^2\vec{p}/E$.

Если вместо этого вы хотите использовать$E$и$m$(вместо$E$и$\vec{p}$), то имеем:

$v^2=c^2-(c^3m/E)^2$. (Обратите внимание, вы получаете только$v$нет$\vec{v}$потому что$E$и$m$являются скалярами, вы не можете получить направление).

Теперь, может быть, из ньютоновской физики вы привыкли выражать$v$с точки зрения$\vec{p}$и$m$, это тоже можно сделать. Вспомним нашу отправную точку$E^2=(c\vec{p})^2+(c^2m)^2$, так$E=\sqrt{(c\vec{p})^2+(c^2m)^2}$. Затем возьмите наше правильное уравнение для$\vec{v}$с точки зрения$\vec{p}$и$E$

$\vec{v}=c^2\vec{p}/E$

и подставьте это выражение для$E$получить:

$\vec{v}=\frac{c^2\vec{p}}{\sqrt{(c\vec{p})^2+(c^2m)^2}}$.

Итак, резюмируя, мы выражаем$v$с точки зрения (любых двух из)$E$,$m$, и$\vec{p}$.

Для$E$и$m$мы получаем$v^2=c^2-(c^3m/E)^2$.

Для$E$и$\vec{p}$мы получаем$\vec{v}=c^2\vec{p}/E$.

Для$m$и$\vec{p}$мы получаем$\vec{v}=\frac{c^2\vec{p}}{\sqrt{(c\vec{p})^2+(c^2m)^2}}$.

Без ограничений, без ошибок, без бесконечностей, без деления на ноль и без исключений.

Кто-то предпочитает работать с$\vec{\beta}=\vec{v}/c$, вместо$\vec{v}$и действительно, так уравнения выглядят лучше.

Для$E$и$m$мы получаем$\beta^2=1-(c^2m/E)^2$.

Для$E$и$\vec{p}$мы получаем$\vec{\beta}=c\vec{p}/E$.

Для$m$и$\vec{p}$мы получаем$\vec{\beta}=\frac{c\vec{p}}{\sqrt{(c\vec{p})^2+(c^2m)^2}}$.

[1] Если все это кажется невероятным, обратите внимание, что мировая линия частицы имеет единичную (в геометрии Минковского) касательную. Для безмассовой частицы они движутся со скоростью с, и все уравнения работают. Для массивных частиц, если вы масштабируете этот единичный тангенс по массе покоя, этот вектор пространства-времени является фактическим вектором пространства-времени энергии-импульса.$(E,c\vec{p})$, так что касательная на самом деле идет$E$единиц времени для каждого$pc$единиц в пространстве, мы делим на$E$чтобы увидеть, что происходит в единицу времени, поэтому в единицу времени это происходит$pc/E$единиц в пространстве. Фактор$c$буквально просто получить это соотношение в единицах скорости.

редактировать Среднее уравнение$\vec{v}=c^2\vec{p}/E$является самым простым, и действительно, если вы решаете для$\vec{p}$, Вы получаете$\vec{p}=(\frac{E}{c^2})\vec{v}$. И да, старые уравнения иногда могут работать, заменяя$m$с$\frac{E}{c^2}$, но с тех пор$\frac{E}{c^2}$не постоянная($E$меняется, когда$p$изменения) не все старые уравнения эквивалентны. Например, в ньютоновской физике вы могли бы$F=mdv/dt$или$F=d(mv)/dt$, однако, если вы заменили$m$с$\frac{E}{c^2}$в этих двух уравнениях вы получите два разных уравнения. Таким образом, не существует простого рецепта перехода от произвольного ньютоновского уравнения к правильному релятивистскому уравнению. Вам просто нужно выучить правильные релятивистские уравнения.

Вот еще один способ подумать об этом (лично я думаю, что это наиболее прямо отвечает на вопрос):

$E = hf$и$p = \frac{hf}{c}$оба применимы к фотонам. То, что они получают, это просто то, что$E = pc$, так что вы можете сделать вывод, что$E = pc$должно быть справедливо для фотонов. И это.

Теперь ваш вопрос сформулирован так, чтобы спросить, можете ли вы начать с$p = mc$и подключи$E = pc$получить$E = mc^2$. Но я думаю, что вы действительно хотите знать, можете ли вы начать с$E = mc^2$и использовать его с$E = pc$вывести$p = mc$?

Ответ, конечно, нет.$E = mc^2$не относится к фотонам. На самом деле нет ни одного случая, когда$E = mc^2$и$E = pc$оба относятся к одному и тому же объекту. Таким образом, вы никогда не сможете правильно их комбинировать. Первый предназначен для объектов в состоянии покоя, для которых$p = 0$, а последний – для безмассовых объектов, для которых$m = 0$, и которые всегда движутся со скоростью света. Как показали другие, они оба являются частными случаями$E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4$.

Между прочим, я не могу придумать ни одной физической системы, для которой$p = mc$ удовлетворен .

Согласно специальной теории относительности релятивистская энергия частицы равна:$E^2= m^2c^4+p^2c^2$

Инвариантной величиной при релятивистских преобразованиях является масса покоя$m$частицы.

Для фотона$m=0$

С помощью несложной алгебры находится$E=pc$для фотона.

Вы увидите, что это сохраняет соотношение частоты и энергии.

Ошибка в вопросе заключается в том, что импульс$p$всегда связано с массой и скоростью ($p=mv$где$c$помещается в качестве$v$для фотона), тогда как для безмассовой частицы это неприменимо.

В качестве дальнейшего уточнения давайте посмотрим на это с точки зрения релятивистского импульса.

Напомним, что импульс в релятивистской механике не является линейной функцией скорости, как в ньютоновской механике, где$p = mv$. В релятивистской механике:

$p = \gamma m v$

$m$инвариантная масса

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$

Ясно, что для ненулевого$m$,$p \rightarrow \infty$как$v \rightarrow c$

Теперь, пожалуйста, имейте в виду, что$p$в релятивистском энергетическом соотношении не просто$mv$а есть релятивистский импульс$\gamma m v$:

$E^2 = (\gamma m v c)^2 + (mc^2)^2$

Отсюда ясно, что релятивистская энергия равна:

$E = \gamma m c^2$

Итак, если мы исправим$E$и разреши$m \rightarrow 0$, мы находим, что$v \rightarrow c$в пределе.