Вывод 4-токового jjj как 4-вектора Ландау-Лифшица: формулировка со строгой математической обработкой?

Question

Вывод 4-токового jjj как 4-вектора Ландау-Лифшица: формулировка со строгой математической обработкой?

Квантовый шепот

Здесь на Stack exchange появился вопрос о том, как получить 4-ток, который на самом деле является тензором Лоренца. Один из ответов ( Как доказать, что 4-токовый $j^\mu$ трансформируется как $x^\mu$ при преобразовании Лоренца? ) использует единственное предположение о лоренц-инвариантности заряда. Ответ содержит цитату из "Классической теории поля", Л.Д.Ландау и Э.М.Лифшица, §28).

Аргумент примерно соответствует тому, что заряд содержится в «бесконечно малом объеме» dV, который обозначается как $\rho$ , предполагается независимым от системы отсчета. Тогда расчет

\begin{aligned} д В р д {Икс}^{мю} "=" д В р д т \frac{д {Икс}^{мю}}{д т} \end{aligned}

$\begin{align} dV \rho dx^{\mu} = dV \rho dt \frac{dx^{\mu}}{dt} \end{align}$ И с тех пор

d V ρ

$dV \rho$ должно быть «скаляром Лоренца», и «dt dV» также является, заключают, что

ρ \frac{d x^{μ}}{d t}

$\rho \frac{dx^{\mu}}{dt}$ должен быть 4-вектор.

Сначала я хотел бы узнать, сформулировал ли кто-нибудь это доказательство на математическом языке тензоров пространства-времени. Если бы кто-нибудь мог представить это мне, я был бы в порядке.

Чтобы уточнить: в этом доказательстве есть несколько вещей, которые я не понимаю:

Q1: Какие объекты dV и dt? Я привык к dx как к дифференциальной форме, которая является элементом из кокасательного пространства в пространстве-времени. Учитывая базу координат, ${e_i}$ , $dx^j$ является двойственным вектором, так что $dx^j(e_i)= \delta^j_i$ держит). Если я смотрю на это таким образом, я не понимаю смысла умножения этих дифференциальных форм (я предполагаю, что это должно быть либо как тензорное, либо как клиновое произведение, но я не могу понять, что именно имеется в виду) . Кроме того, я не понимаю, что можно "разделять дифференциальные формы" - что там вообще происходит? И в случае, если указанные величины должны означать просто «малые числа», как можно было бы записать доказательство, используя дифференциальные формы и касательные векторы, являющиеся элементами пространства-времени?

Q2: Что именно подразумевается здесь под «инвариантностью» или «скаляром Лоренца»? Я предполагаю, что автор хочет сделать заявление о том, как изменяется количество, когда кто-то выполняет пассивное преобразование в пространстве-времени (это то, чем являются преобразования Лоренца: кто-то смотрит на одну и ту же точку пространства-времени в другом базисе, поэтому координаты относительно это изменение базы).

В случае, если вышеуказанные количества $dVdt$ действительно дифференциальные формы, то они уже живут в пространстве-времени. Им плевать на смену базы — зачем вообще что-то менять?

В случае, если вышеуказанные количества $dVdt$ действительно просто означают «маленькие числа», и говорят о свойствах преобразования, какое преобразование здесь имеется в виду?

Если я представлю, что «дифференциальный объем» dV состоит из 3 маленьких «векторов», указывающих в пространственных направлениях $e_1$ , $e_2$ , $_3$ с соответствующей длиной $dx^1$ , $dx^2$ и $dx^3$ , то в усиленной системе отсчета эти 3 вектора могут иметь разные компоненты времени. Конечно, можно еще вычислить их «новые пространственные длины», но поскольку в новом кадре объем будет двигаться, можно вычислить неправильную величину для объема, он окажется больше в разы $\gamma$ .

В случае, если кто-то определяет объем, охватываемый не просто 3 векторами, а вместо этого 3 мировыми линиями (что дало бы объем, путешествующий во времени), можно было бы преобразовать их и выбрать 3 вектора в новой системе отсчета, которые охватывают движущийся объем в точке равные времена. Тогда можно было бы посмотреть на их длину $d\tilde{x}^1$ , $d\tilde{x}^2$ , $d\tilde{x}^3$ , и обнаружим, что их произведение на самом деле уменьшилось на множитель $\frac{1}{\gamma}$ . Если я сделаю это, то трансформация, которая соединит $dx^i$ и $d\tilde{x}^j$ больше не является преобразованием Лоренца, что оставляет меня в замешательстве, какое из них выбрать сейчас: первое преобразование, о котором я ожидаю говорить, когда говорят о «законах преобразования», в то время как второе преобразование дает правильные результаты ( объем уменьшается на коэффициент $\frac{1}{\gamma}$ ).

Q3: Что подразумевается под $dx^{\mu}$ в первую очередь? Так как он делится на $dt$ чтобы стать выводом, я предполагаю, что ранее предполагалось, что объем, о котором говорилось, перемещается функцией $x(t)$ в космосе. Это оно? И в таком случае является ли dx чем-то вроде «бесконечно малого смещения» положения объема в пространстве-времени? Я спрашиваю, потому что в доказательстве нигде ранее не упоминалось, что объем действительно движется по такой функции.

Квантовый шепот

@Frobenius: Вы сами заявили, что раздел комментариев под вашим ответом (на который я действительно ссылаюсь) не является подходящим местом для разъяснений. Вот почему я написал новый вопрос. Я не спрашиваю, как можно доказать, что 4-ток трансформируется правильным образом. Я спрашиваю о конкретных математических деталях доказательства, которое вы и Ландау/Лифшиц представляете. Я не понимаю, как это дубликат.

Ответы (1)

Вывод 4-токового jjj как 4-вектора Ландау-Лифшица: формулировка со строгой математической обработкой?

@Frobenius: Вы сами заявили, что раздел комментариев под вашим ответом (на который я действительно ссылаюсь) не является подходящим местом для разъяснений. Вот почему я написал новый вопрос. Я не спрашиваю, как можно доказать, что 4-ток трансформируется правильным образом. Я спрашиваю о конкретных математических деталях доказательства, которое вы и Ландау/Лифшиц представляете. Я не понимаю, как это дубликат.

Октай Догангюн · Answer 1

Прежде всего, $dx^\mu$ это куча дифференциалов как $cdt,dx,dy,dz$ которые составляют основу многообразия. Это линейная карта, которая поглощает вектор в пространстве и выделяет компонент в направлении координат. $x^\mu$ ( $\mu$ -е направление). Итак, вы можете написать $\mu$ компоненты каждого тензора как проекции на $\mu$ -й дифференциал, $dx^\mu$ .

Четырехобъемный элемент, $dV dt$ , не является прямым произведением четырех дифференциальных элементов, а является четырехформой , иногда называемой формой объема , и они являются формами высшей степени в пространственно-временном многообразии (4 в данном случае). Четыре формы в 4D являются не скалярами, а псевдоскалярами, то есть имеют только одну компоненту, как скаляры, но не преобразуются, как скаляр.

Позволять $d \mathcal{V}$ быть формой объема в N-мерном пространстве следующим образом:

\begin{aligned} д В & "=" р ϵ_{{мю}_{1} \dots {мю}_{Н}} д {Икс}^{{мю}_{1}} \land \dots \land д {Икс}^{{мю}_{Н}} \\ "=" р д {Икс}^{0} д {Икс}^{1} д {Икс}^{2} д {Икс}^{3} \\ \equiv р д {Икс}^{4} \end{aligned}

$\begin{align} d \mathcal{V} &= {\rho} \, \epsilon_{\mu_1 \cdots \mu_N} \, dx^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge dx^{\mu_N} \\ &= \rho \, dx^0 dx^1 dx^2 dx^3 \\ & \equiv \rho \, dx^4 \end{align}$ где

ρ

$\rho$ - скалярная плотность, и

ϵ

$\epsilon$ является символом Леви-Чивиты (а не тензором). В большинстве случаев определителем 2-рангового тензора будет скалярная плотность. И в основном определитель метрического тензора,

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ , который широко используется в общей теории относительности.

Здесь скалярная плотность является компонентом формы объема. Это не скаляр, он преобразуется по-другому. Правило преобразования для плотностей: $\rho \rightarrow \det|J| \, \rho$ , где $J$ является матрицей Якоби преобразования субъекта (например, Лоренца, перевода и т. д.).

С другой стороны, основа объемной формы трансформируется ровно обратным образом, поскольку символ Леви-Чивиты представляет собой просто набор цифр и $dx^\mu$ преобразуются как вектор, который обеспечивает обратный определитель якобиана и сокращают друг друга, т.е. $dx^4 \rightarrow \frac{1}{\det|J|} \, dx^4$

Давайте упростим и возьмем в качестве примера плоскую плоскость. Рассмотрим элемент объема в декартовых координатах, т.е.

д В "=" ϵ_{я Дж} д {Икс}^{я} \land д {Икс}^{Дж} "=" д Икс д у

$d \mathcal{V} = \epsilon_{ij} dx^i \wedge dx^j = dx dy$ Если перейти к полярным координатам,

r

$r$ и

θ

$\theta$ , можно было бы выбрать координатную основу

d r

$dr$ и

d θ

$d\theta$ , однако их произведение не было бы равно элементу объема, т. е.

d x d y \neq d r d θ

$dx dy \neq dr d\theta$ . Согласно преобразованию из декартова в полярное, нужно вставить определитель якобиана, который равен

r

$r$ . Конечно, вы можете определить базисные векторы как

{\hat{e}}^{r} = d r

$\hat{e}^r = dr$ и

{\hat{e}}^{θ} = r d θ

$\hat{e}^\theta = r d \theta$ , затем

d V = ϵ_{a b} {\hat{e}}^{a} \land {\hat{e}}^{b} = {\hat{e}}^{r} {\hat{e}}^{θ}

$dV = \epsilon_{ab} \, \hat{e}^a \wedge \hat{e}^b = \hat{e}^r \, \hat{e}^\theta$ был бы равен картезианскому. Такие базисы называются анголономными или некоординатными базисами (поскольку они не являются замкнутыми формами). Так что на самом деле это похоже на проглатывание якобиана.

Например, в общей теории относительности (искривленное пространство-время) элемент объема принимает следующий вид:

д В "=" \sqrt{| дет г |} д^{4} Икс

$d\mathcal{V} = \sqrt{|\det g|} d^4 x$ где метрика

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ может стать «плоской» метрикой Минковского,

η_{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}$ , таким образом, что

det η = 1

$\det \eta = 1$ .

В Affine Gravity, где нет метрики, а есть только кривизна, элемент объема выглядит следующим образом:

д В "=" \sqrt{| дет р |} д^{4} Икс

$d\mathcal{V} = \sqrt{|\det R|} d^4 x$ где

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ — кривизна Риччи ( см. формализм Эддингтона).

Вывод 4-токового jjj как 4-вектора Ландау-Лифшица: формулировка со строгой математической обработкой?

Квантовый шепот

Квантовый шепот

Ответы (1)

Октай Догангюн

Почему электроны растягиваются, когда они проходят по проводу?

Магнетизм и специальная теория относительности

Безмассовые заряженные частицы в электрическом поле

Имеют ли интегральные формы уравнений Максвелла ограниченную применимость из-за запаздывания?

Имеют ли движущиеся заряженные частицы магнитное и электрическое поля?

Почему заряд лоренц-инвариантен, а релятивистская масса нет?

Путаница по поводу математической природы электромагнитного тензора и полей E, B

Вывод магнитной силы для заряда, движущегося относительно провода (Электричество и магнетизм М. Перселла)

Тензорная формулировка уравнений Максвелла

Относительность в проводе с током