Путаница по поводу математической природы электромагнитного тензора и полей E, B

Отличный вопрос! У меня было много таких же замешательств, когда я впервые изучал SR.

Прежде всего,$\vec{E}$и$\vec{B}$преобразовывать как обычные 3-векторы при поворотах и ​​переводах. Математически,$\vec{E}$и$\vec{B}$являются расположением компонент антисимметричного тензора$F^{\mu\nu}$. Причина, по которой профессора все еще имеют право говорить новичкам в электродинамике, что они являются «векторами», заключается в том, что они, рассматриваемые как наборы объектов сами по себе, преобразуются как вектор. Если вам нужны подробности, вам следует изучить теорию групп, лежащую в основе тензоров (мой любимый — Zee). Я могу дать вам краткий обзор (я не знаю, насколько вы знакомы с теорией групп, поэтому я предполагаю, что нет. Простите, если не так): Группа — это набор объектов, которые удовлетворяют определенным свойствам. В физике наборы преобразований, сохраняющие уравнения движения (или, точнее, действия), называются группами. Одним из способов определения трехмерных векторов являются объекты, которые определенным образом преобразуются в представление (способ представления абстрактного группового действия с матрицами, преобразующими векторное пространство) группы$SO(3)$, повороты с сохранением ориентации в трех измерениях (чтобы быть полным, мы должны включить другие преобразования, которые сохраняют евклидово расстояние, но повороты пока достаточно хороши). В теории групп, когда вы изучаете эти различные представления, вы обнаружите, что некоторые из них изоморфны, что является просто высокоинтеллектуальным способом сказать, что они фактически эквивалентны. Для$SO(3)$, преобразование антисимметричного 2-тензора (в контексте E&M пространственная часть$F^{\mu\nu}$) оказывается эквивалентным вектору ($SO(3)$содержится в группе Лоренца, так что это важно для рассмотрения в специальной теории относительности). Это позволяет выявить правильное расположение компонентов$F^{ij}$как вектор, не что иное, как$\vec{B}$. Что же касается 4-векторов, то их пространственные компоненты можно назвать 3-векторами, потому что они точно так же преобразуются при вращении. Также для пространственных преобразований индексы вверх/вниз не имеют значения, так как пространственная метрика имеет один и тот же знак во всех своих компонентах.

Что касается операций с точками и крестами, то они просто плохие обозначения. Это означает то, что вы сказали, умножение и сложение/вычитание определенным образом. Опять же, эти операции восходят к$SO(3)$и хорошо трансформируется при вращении (точечный продукт преобразуется как скаляр, крест как вектор). Проблема с записью их в релятивистских уравнениях состоит в том, что это нарушает явную лоренц-инвариантность. А именно, уравнения по-прежнему лоренц-инвариантны (точнее, ковариантны, но какая разница), но это скрыто плохой записью. Вам придется отрабатывать преобразования под бустами вручную, чтобы убедиться, что все работает правильно. Вот где хороши 4-векторы Минковского, потому что, когда вы пишете те же уравнения в терминах 4-векторов, все, что вам нужно сделать, это убедиться, что индексы Лоренца совпадают. Таким образом, дилемма 3-х и 4-х векторов - это вопрос обозначений; 4-векторы делают лоренц-инвариантность очевидной, 3-векторы скрывают ее.

Я должен добавить еще одно замечание: существует очень глубокая дифференциально-геометрическая интерпретация всего этого, включая дифференциальные формы и независимость от координат, но я думаю, что это не так важно для вашего непосредственного вопроса. Преимущество этого в том, что он не ссылается на законы преобразования, поэтому, если вас не устраивает «вектор преобразуется как вектор» и т. Д., Это может внести некоторую ясность. (См. Франкель )

Надеюсь, это помогло!

Оба$\vec E$и$\vec B$преобразуются как обычные 3-векторы при поворотах. Именно под бустами они преобразуются не так, как пространственные части векторов, а оба являются 3-векторами, если не рассматривать специальную теорию относительности, а только классическую вращательную симметрию.

Как только вы примете во внимание специальную теорию относительности,$\vec E$и$\vec B$больше не являются хорошими величинами именно потому, что они плохо ведут себя при преобразованиях Лоренца. Но вместе , как компоненты 2-формы$F$, который преобразуется как правильный (0,2)-тензор при преобразованиях Лоренца, они снова являются «хорошими» объектами.

На самом деле, как я объясняю в этом своем ответе , что магнитное поле можно рассматривать как вектор, это счастливая случайность трех измерений, и более правильно его следует рассматривать как пространственную 2-форму в общих рамках.

Чтобы согласовать выражение четырех сил силы Лоренца с «обычной» силой Лоренца, т.е. согласовать ваше уравнение. (1) с ур. (3), заметим, что они явно совпадают в системе, где частица покоится, т.е.$u = (c,0,0,0)$а затем покажите, что применение преобразования Лоренца ко всем задействованным объектам воспроизводит оба уравнения.

Ничего, кроме этих отношений, здесь не происходит - я думаю, вас смущает то, что вы пытаетесь сделать относительность с явно нековариантными объектами, т.е.$\vec E, \vec B$. Это неудивительно — сила ковариантных и инвариантных объектов как раз в том, что они не приводят к таким запутанным уравнениям, как это делают нековариантные объекты. Не следует ожидать, что нековариантному уравнению, такому как экв., придается особое значение. (5).