Тонкость в выводе теоремы Нётер Ди Франческо

Question

Тонкость в выводе теоремы Нётер Ди Франческо

Физика
Нётер-теорема
лагранжев формализм
математическая физика
вариационное исчисление

КАФ

В книге «Конформная теория поля» Ди Франческо и др. вывод теоремы Нётер продемонстрирован путем наложения того, что я считаю более элегантным подходом, параметр $\omega$ явно $x$ -зависимый, так что $\omega = \omega(x)$ для локального преобразования, а затем, наконец, в конце рассмотрения глобального преобразования, которое, следовательно, приводит к теореме Нётер. Вывод находится на страницах 39-41.

Я понимаю весь вывод, однако до моего сведения было доведено, что весь вывод, по-видимому, основан на непоследовательной отправной точке, которая, следовательно, сделала бы остальную часть аргумента, хотя и математически корректного, совершенно бесполезным.

На стр. 39 Ди Франческо пишет, что общие инфинитезимальные преобразования координат и поля, соответственно,

{Икс}^{' мю} "=" {Икс}^{мю} + ю_{а} \frac{дельта {Икс}^{мю}}{дельта ю_{а}}

$x'^{\mu} = x^{\mu} + \omega_a \frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_a}$

Φ^{'} ({Икс}^{'}) "=" Φ (Икс) + ю_{а} \frac{дельта Ф}{дельта ю_{а}} (Икс) .

$\Phi'(x') = \Phi(x) + \omega_a \frac{\delta F}{\delta \omega_a}(x).$ Это написано в предположении, что

ω_{a}

$\omega_a$ являются бесконечно малыми параметрами, а не функциями

x

$x$ . Поэтому, когда он использует этот результат в своем выводе на стр. 40 и говорит, что сделает предположение, что

ω_{a}

$\omega_a$ зависят от

x

$x$ , как он может это сделать?

Для ясности, на случай, если я что-то пропустил, у меня было это обсуждение здесь: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=760137 , и в посте 14 возникает тонкость. Так действительно ли это недостаток? Я просто действительно ищу другое мнение по этому поводу. Я спросил одного из профессоров в моем университете, и он сказал, что если $x$ зависимость «маленькая», тогда она действительна, но я не совсем уверен, что это значит.

Ответы (1)

Тонкость в выводе теоремы Нётер Ди Франческо

Qмеханик · Answer 1

Qмеханик

I) Вопрос ОП (v2), по-видимому, по сути является вопросом математической точности по сравнению с тем, как физики лаконично выражают себя, говоря о « бесконечно малых », не становясь слишком техническими, вводя эпсилоны и дельты , а что нет. См. также этот пост на Phys.SE.

Возможно, самый простой и элементарный способ понять «бесконечно малую функцию». $\omega(x)$ в Ди Франческо и др. al., CFT, это думать об этом как о продукте $^1$

ю (Икс) "=" дельта ф (Икс),

$\omega(x)~=~\delta~f(x),$

где $f(x)$ является ограниченной функцией $^2$ , например $|f(x)|\leq 1$ ; и $\delta$ является «бесконечно малой константой». «Бесконечно малая константа» — это просто физический жаргон для небольшого числа $\delta>0$ настолько малы, что вкладами высших порядков можно пренебречь. $\delta$ в расчете, с точностью $\epsilon>0$ что мы работаем.

II) О выводе теоремы Нётер с помощью трюка $x$ -зависимый $\omega(x)$ см. этот пост Phys.SE.

--

$^1$ Мы сбросили индекс $a$ в $\omega_a(x)$ для простоты.

$^2$ Технически может быть удобно дополнительно предположить, что функция $f(x)$ дифференцируема с ограниченной производной, возможно, даже с компактным носителем . Функция $f(x)$ играет роль, мало чем отличающуюся от тестовой функции .

КАФ

Привет Кмеханик. Итак, просто чтобы уточнить, происхождение Ди Франческо кажется вам приемлемым? В основном он пишет

ω

$\omega$ как функция

x

$x$ во всем, но это

x

$x$ зависимость, выраженная через вашу функцию

f (x)

$f(x)$ подавляется константой

δ

$\delta$ что позволяет

ω

$\omega$ всегда рассматривать как бесконечно малую функцию

x

$x$ ?

Qмеханик

Как всегда, когда физики пишут математику, читатель должен расставить все точки над i и зачеркнуть t. Другими словами, если вы можете найти контрпример к одному из аргументов Ди Франческо и др., он, скорее всего, будет исключен из-за неявно подразумеваемого предположения, например, что все функции предполагаются достаточно много раз дифференцируемыми и т. д.

КАФ

Хорошо спасибо. Таким образом, то, как Ди Франческо первоначально написал бесконечно малые преобразования (как написано в OP), предназначено для константы

ω

$\omega$ . Эти уравнения также верны для локального преобразования,

ω = ω (x)

$\omega = \omega(x)$ предоставил

ω (x)

$\omega(x)$ имеет форму, которую вы написали,

ω (x) = δ f (x)

$\omega(x) = \delta~ f(x)$ . Было бы это правильно?

Qмеханик

Вплоть до вкладов более высокого порядка и по модулю выше оговорок: Да.

КАФ

У меня есть последний вопрос по поводу утверждения, что преобразование симметрии индуцирует сохраняющуюся величину в силу теоремы Нётер. Когда мы говорим «преобразование симметрии», я понимаю, что это означает преобразование, при котором функционал действия остается инвариантным, но вызвана ли эта инвариантность тривиальным преобразованием поля? Например, преобразования лоренцевской симметрии соответствуют только тем, где поле является скаляром Лоренца (то есть оно принадлежит тривиальному представлению группы Лоренца)?

Qмеханик

Комментарии: 1. Преобразование (квази)симметрии сохраняет действие

S

$S$ (до предельных сроков). 2. При обсуждении симметрии действия

S

$S$ под группой

G

$G$ , сами переменные/поля не преобразовываются (возможно, в несколько копий) тривиальным

G

$G$ . Если бы это было так, то соответствующий закон сохранения был бы тривиальностью а-ля

0 = 0

$0=0$ . (Обратите внимание, что горизонтальные преобразования

δ x = \dots

$\delta x=\ldots$ может вызвать различную терминологию повторения: то, что кажется тривиальным повторением с одной точки зрения (точка зрения), может быть нетривиальным с другой точки зрения.)

КАФ

Данный

С "=" \int_{Д} д^{д} Икс л (ф, \partial ф)

$S = \int_{\mathcal D}\,\text{d}^d x \mathcal L(\phi, \partial \phi)$ у нас есть это

С^{'} "=" \int_{Д} д^{д} Икс | \frac{\partial {Икс}^{'}}{\partial Икс} | л (Ф (ф (Икс)), \partial_{мю}^{'} Ф (ф (Икс))),

$S' = \int_{\mathcal D}\,\text{d}^d x \left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right| \mathcal L(F(\phi(x)), \partial_{\mu}' F(\phi(x))),$ так что это подсказывает мне, что при условии, а) фактор Якоби

| \partial x^{'} / \partial x |

$|\partial x'/\partial x|$ есть единица, б)

F (ϕ (x)) = ϕ (x)

$F(\phi(x)) = \phi(x)$ , в)

\partial_{μ}^{'} F (ϕ (x)) = \partial_{μ} ϕ

$\partial_{\mu}' F(\phi(x)) = \partial_{\mu}\phi$ то преобразование считается симметрией. Было бы это правильно?

КАФ

Я полагаю, что эти условия а)-в) всегда будут

S^{'} = S

$S'=S$ , однако в зависимости от формы и структуры лагранжиана могут возникнуть и другие симметрии. Чтобы проиллюстрировать, что я имею в виду, под преобразованием

ϕ^{'} (x) = e^{i θ} ϕ (x)

$\phi'(x) = e^{i\theta}\phi(x)$ у нас есть инвариантное действие для лагранжиана, данное здесь, внизу первой страницы, itp.phys.ethz.ch/research/qftstrings/archive/12HSQFT1/…

Тонкость в выводе теоремы Нётер Ди Франческо

КАФ

Ответы (1)

Qмеханик

КАФ

Qмеханик

КАФ

Qмеханик

КАФ

Qмеханик

КАФ

КАФ

Вывод тока Нётер

Симметризация канонического тензора энергии-импульса

Почему вариация симметрии δsqδsq\delta_s q отличается от обычной вариации δqδq\delta q?

Некоторая путаница в отношении особенностей геометрической формулировки лагранжевой механики и теоремы Нётер.

Вывод дробных уравнений

Об уловке для получения тока Нётер

Уравнение Эйлера-Пуанкаре

Прояснение некоторых простых деталей типов симметрий, связанных с теоремой Нётер.

Всегда ли изменение лагранжиана является полной производной от преобразований симметрии действия?

Что такое «поверхностный термин»?