Уравнение Эйлера-Пуанкаре

1. Принцип стационарного действия и уравнения Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) представляют собой очень широкие и общие конструкции. Полевые переменные в вариационном принципе в принципе могут отображаться в некоторое многообразие общего положения . $M$.

2. С другой стороны, уравнения Эйлера-Пуанкаре (ЭП) появляются в особой ситуации, когда многообразие является группой Ли$M=G$, а действие осталось-$G$- инвариант. Следующий использует экспоненциальную карту , чтобы сделать переменные алгебраически-значными (а не групповыми). Уравнения EP читаются

   $$\left( \frac{d}{dt}+ {\rm ad}^{\ast}_{\xi}\right) \frac{\delta \ell}{\delta\xi}~=~0,$$ где переменные$\xi$являются алгебраическизначными. Уравнения EP с алгебраическими значениями Ли эквивалентны уравнениям EL с групповыми значениями Ли для той же задачи. См. ссылку. 1 для получения дополнительной информации.

3. Уравнения Эйлера (Э) для твердого тела являются частным случаем уравнений ЭП.

Использованная литература:

1. Дж. Э. Марсден и Т. С. Ратиу, Введение в механику и симметрию, 2-е изд., 1998; Раздел 13.5.