Вывод формулы Хевисайда-Фейнмана для электрического поля произвольно движущегося заряда из потенциала Лиенара-Вихерта

Наконец-то я нашел свою ошибку!

Как я прокомментировал в ответе Арта Брауна, подумав об этом после лекции, которую мы провели сегодня, я понял, что вычисляю свой градиент по отношению к$\vec{r}_{1}$неправильно. То есть, я думал, в моем выводе выше, что

$$\vec{\nabla} (r) = \frac{\vec{r}}{r}$$

Однако это неправильно, потому что я просто дифференцировал по отношению к явному$\vec{r}_{1}$в$\vec{r}=\vec{r_{1}}-\vec{r_{2}(t')}$. Однако есть$\vec{r}_{1}$-зависимость в$\vec{r}_{2}$тоже потому что$t'=t - \frac{r}{c}$зависит от$\vec{r}_{1}$!

Чтобы принять это во внимание, мы должны неявно вывести, чтобы получить выражение для этого градиента:

$$\vec{\nabla} (r) = \frac{\vec{r}}{r}-\frac{\vec{r}}{r}\cdot\frac{d\vec{r}_{2}}{d t'}\bigg(\frac{-\vec{\nabla} (r)}{c}\bigg)$$

Переставляя и отмечая$\frac{d\vec{r}_{2}}{dt'}=\vec{v}$,

$$\vec{\nabla} (r) = \frac{\vec{r}}{r} \frac{1}{1-\frac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{rc}} = \frac{\vec{r}}{r} \bigg(1 - \frac{\dot{r}}{c}\bigg)$$

Где я использовал уравнение$(2)$в моем вопросе. Теперь я могу оценить$-\vec{\nabla} \phi$снова:

$$-\frac{4\pi\epsilon_{0}}{q}\vec{\nabla} \phi = \frac{1}{r^{2}}\bigg(1-\frac{\dot{r}}{c}\bigg)\vec{\nabla}(r)+\frac{1}{rc}\frac{\partial}{\partial t}\vec{\nabla}(r) = \frac{1}{r^{2}}\frac{\vec{r}}{r}\bigg(1-\frac{\dot{r}}{c}\bigg)^{2}+\frac{1}{rc}\frac{\partial}{\partial t} \Bigg(\frac{\vec{r}}{r}\bigg(1-\frac{\dot{r}}{c}\bigg)\Bigg) = \frac{1}{r^{2}}\frac{\vec{r}}{r}\bigg(1-\frac{2\dot{r}}{c}+\frac{\dot{r}^{2}}{c^{2}}\bigg) + \frac{1}{rc}\bigg(1-\frac{\dot{r}}{c}\bigg)\frac{\partial}{\partial t}\bigg(\frac{\vec{r}}{r}\bigg)-\frac{\vec{r}}{r^{2}}\frac{\ddot{r}}{c^{2}} = \frac{\vec{r}}{r^{3}} + \frac{r}{c} \frac{\partial}{\partial t}\bigg(\frac{\vec{r}}{r^{3}} \bigg) +\frac{2\vec{r}\dot{r}^{2}}{r^{3}c^{2}}-\frac{\dot{r}\dot{\vec{r}}}{r^{2}c^{2}}-\frac{\vec{r}\ddot{r}}{r^{2}c^{2}}$$

Итак, первые два термина снова верны! Посмотрим, сможем ли мы получить третий при вычислении$\vec{E}$:

$$\vec{E} = - \vec{\nabla} \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \bigg(\frac{\vec{r}}{r^{3}} + \frac{r}{c} \frac{\partial}{\partial t}\bigg(\frac{\vec{r}}{r^{3}} \bigg) +\frac{2\vec{r}\dot{r}^{2}}{r^{3}c^{2}}-\frac{\dot{r}\dot{\vec{r}}}{r^{2}c^{2}}-\frac{\vec{r}\ddot{r}}{r^{2}c^{2}} + \frac{\ddot{\vec{r}}}{c^{2}r} - \frac{\dot{\vec{r}}\dot{r}}{c^{2}r^{2}} \bigg) = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \bigg(\frac{\vec{r}}{r^{3}} + \frac{r}{c} \frac{\partial}{\partial t}\bigg(\frac{\vec{r}}{r^{3}} \bigg) + \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \bigg(\frac{\vec{r}}{r}\bigg) \bigg)$$

Какова правильная формула Хевисайда-Фейнмана! :D

Несколько лет назад я дал для себя доказательство этого уравнения Фейнмановских лекций, также известного как уравнение Хевисайда-Фейнмана, исходя из запаздывающего скалярного и векторного потенциалов вместо потенциалов Лиенара-Вихерта. Последние неизбежно появляются в доказательстве как промежуточный шаг ⁽¹⁾ . Я использую Дирак$\:\delta-$функция и определители Якоби. Доказательство написано на$\LaTeX$и Рисунки созданы программным обеспечением GeoGebra. Но доказательство слишком длинное, чтобы публиковать его в допустимой длине ответа PSE (я думаю, около 30 000 символов) ⁽²⁾ . Итак, я загрузил соответствующий файл Adobe Acrobat .pdf около 1,5 лет назад по следующей ссылке:

$\color{blue}{\textbf{A Feynman Lectures EM Equation}}$

Обратите внимание, что, по его собственным словам (Фейнмана):

^{$\rule[0.6 mm]{2 mm}{2 mm}\:$ Когда мы изучали свет, мы начали с написания уравнений для электрического и магнитного полей, создаваемых зарядом, который движется произвольно. Эти уравнения были}

$$\begin{equation} \mathbf{E}=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\left[\dfrac{\mathbf{e}_{r^{\prime}}}{r^{\prime 2}}+\dfrac{r^{\prime}}{c}\dfrac{d}{dt}\biggl(\dfrac{\mathbf{e}_{r^{\prime}}}{r^{\prime 2}}\biggr)+\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{d^{2}}{dt^{2}}\mathbf{e}_{r^{\prime}}\right] \tag{21.1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} c\mathbf{B}=\mathbf{e}_{r^{\prime}}\boldsymbol{\times}\mathbf{E} \nonumber \end{equation}$$ Если заряд движется произвольным образом, то электрическое поле, которое мы нашли бы теперь в какой-то точке, зависит только от положения и движения заряда не сейчас, а в более ранний момент времени — в момент, который раньше на время, которое потребовалось бы для этого. легкий, идущий со скоростью$\:c$, преодолевать расстояние$\:r^\prime\:$от заряда до полевой точки. Другими словами, если мы хотим, чтобы электрическое поле в точке ($1$) в то время$\:t$, мы должны вычислить местоположение ($2^\prime$) заряда и его движения в момент$\:(t-r^\prime/c)\:$, где$\:r^\prime\:$расстояние до точки ($1$) с позиции заряда ($2^\prime$) в то время$\:(t-r^\prime/c)\:$. Главное напомнить вам, что$\:r^\prime\:$— так называемое «запаздывающее расстояние» от точки ($2^\prime$) к точке ($1$), а не фактическое расстояние между точкой ($2$), положение заряда в момент$\:t$, а точка поля ($1$)(см. рис. 21-1)$\:\rule[0.6 mm]{2 mm}{2 mm}$

---

^{(1) Скалярный и векторный потенциалы Лиенара-Вихерта показаны в файле .pdf в виде уравнений (4-2.24), (4-2.25) соответственно и в компактной форме в виде (4-2.26), (4-2.27) соответственно.}

^{(2) Если у пользователей PSE есть интерес загрузить файл .pdf в MathJax в качестве ответа, я мог бы это сделать, но за счет хостинга, предоставленного мне PSE, поскольку может потребоваться длина 3-4 ответов. и частая надоедливая видимость вопроса как активного из-за обязательно тяжелого редактирования.}

Ради документации я представляю здесь доказательство, которое я нашел сегодня (13.11.2019), примечание «Измерение скорости распространения кулоновских полей». Р. де Сангро, Г. Финоккиаро, П. Паттери, М. Пикколо , Г. Пиццелла, опубликовано в 2016 г.

В основном они последовали предложению Фейнмана, выведя электрическое поле из формулы Хевисайда-Фейнмана и сравнив результат со стандартным результатом, полученным из потенциалов Линерда-Вихерта, которые можно найти во многих учебниках.

Ради документации я представляю еще одно доказательство, которое я нашел сегодня (13.11.2019), Запаздывающие электрические и магнитные поля движущегося заряда: новый взгляд на вывод Фейнмана потенциалов Лиенара-Вихерта. JHField (последнее обновление 2015 г.). Он находится в Приложении B к статье.

В основном в Приложении B автор последовал предложению Фейнмана, выведя поля из формулы, завершив дифференцирование. Думаю, мне следует заявить, что я могу не согласиться с точкой зрения автора в других частях статьи, но это Приложение B является независимым.

Вероятно, в конце концов сделан вывод, несмотря на то, что Фейнман сказал, что его невозможно вывести. Нашел сегодня (23.01.2021) в учебнике П.А. Дэвидсона "Введение в электродинамику", первое издание, 2019 г. В разделе 17.3 "Уравнения Хевисайда-Фейнмана для поля точечного заряда" автор вывел это из уравнений Ефименко.

В основном он следовал следующим шагам,

1, переписать частичные производные в обратном времени с частными производными в текущем времени,
2, подключить одночастичное представление (дельта-функции)
3, выполнить пространственное интегрирование и получить выражения с целыми производными в текущем времени,
4, переписать целые производные в текущем времени с целыми производными в запаздывающем времени,
5, упростить,
6, переписать целые производные в запаздывающем времени с целыми производными в текущее время.

Мне лень писать уравнения.

Далее следует подход Фульвио Мелиа в его тексте по электродинамике (с использованием единиц СГС). Обратите внимание, что нерелятивистский потенциал дает

$$\Phi(\mathbf r,t)=\left[\frac{q}{\left(1-\hat{n}\cdot\boldsymbol\beta\right)r}\right]\equiv q\int\frac{\delta\left[t'-t+r(t')/c\right]}{r(t')}dt'\tag{1}$$ где $\boldsymbol\beta=\mathbf v/c$и $\hat{n}=\mathbf r/r$и мы используем особое свойство дельта-функции Дирака, чтобы получить эквивалентность справа; аналогичная эквивалентность может быть получена для векторного потенциала. Градиент (1) и частная производная векторного потенциала по времени возвращаются (с некоторым простым дифференциальным исчислением), $$\mathbf E=q\left\{\frac{\left(\hat{n}-\boldsymbol\beta\right)\left(1-\beta^2\right)}{\left(1-\hat{n}\cdot\boldsymbol\beta\right)^3r^2}\right\}_{ret}+\frac{q}{c}\left\{\frac{\hat n\times\left[\left(\hat n-\boldsymbol\beta\right)\times\dot{\boldsymbol\beta}\right]}{\left(1-\hat n\cdot\boldsymbol\beta\right)^3r}\right\}_{ret}\tag{2}$$ где $ret$указывает запаздывающий потенциал (вы также можете использовать $\gamma^{-2}=1-\beta^2$в первый срок). Вы должны быть в состоянии ввести (2) в формулу Фейнмана-Хевисайда, отметив

• $\dot{r}=-c\left(\hat n\cdot\boldsymbol\beta\right)$
• $\dot{\hat n}=\frac{c}{r}\left[\hat n\left(\hat n\cdot\boldsymbol\beta\right)-\boldsymbol\beta\right]$

Это может быть более простой метод, чем использование градиентов, которые вы сделали.