Вывод формулы сферы холма

Сфера Хилла определяется несколько иначе, чем полость Роша, но ее радиус аппроксимируется расстоянием до точек Лагранжа L ₁ и L ₂ .

Для кругового движения с угловой скоростью$\omega$вокруг начала координат имеем:

$$\ddot{\mathbf{r}} = - \omega^2 \mathbf{r}$$

Ускорение свободного падения от точки массы на другую массу в положении$\mathbf{r}$определяется обычным законом обратных квадратов:

$$\ddot{\mathbf{r}} = -\frac{Gm}{\left\|\mathbf{r}\right\|^2}\hat{\mathbf{r}}$$

Теперь рассмотрим систему двух тел с массами$m_1$и$m_2$, разделенные расстоянием$r$вращающиеся вокруг их общего центра масс (com) на расстояниях$r_1$и$r_2$соответственно.

Это одномерная система, поэтому мы можем перейти от векторов к скалярам. Из определения центра масс имеем:

$$r_1 = \left(\frac{m_2}{m_1 + m_2}\right) r$$ $$r_2 = \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right) r$$

Для орбиты$m_2$вокруг центра масс, приравнивая ускорение свободного падения к требуемому ускорению для кругового движения, получаем:

$$\omega^2 r_2 = \frac{G m_1}{r^2}$$

А затем выражая$r_2$с точки зрения$r_1$дает третий закон Кеплера:

$$\omega^2 = \frac{G\left(m_1 + m_2\right)}{r^3}$$

Далее находим расстояние до точки L ₁ , где гравитационные силы первичной и вторичной комбинаций обеспечивают необходимое ускорение для кругового движения. Приравнивание ускорения кругового движения к силам тяжести дает:

$$\omega^2 \left(r_2 - h\right) = \frac{G m_1}{\left(r - h\right)^2} - \frac{G m_2}{h^2}$$

И подставляя$\omega$приводит к:

$$\frac{\left(m_1 + m_2\right)\left(r_2 - h\right)}{r^3} = \frac{m_1}{\left(r - h\right)^2} - \frac{m_2}{h^2}$$

Затем перепишите это с точки зрения отношения масс$q = \frac{m_2}{m_1}$и относительное расстояние$z = \frac{h}{r}$, давая:

$$1 - z\left(1 + q\right) = \left(1 - z\right)^{-2} - qz^{-2}$$

Это приводит к уравнению пятой степени для$z$, которые должны быть решены численно, поскольку общие квинтики не имеют алгебраических решений (я не собираюсь делать вид, что понял доказательство этого ).

При условии, что мы находимся в ситуации, когда$m_1 \gg m_2$, что является хорошей аппроксимацией для планет Солнечной системы, мы можем делать аппроксимации, чтобы не решать квинтику. В этом случае сфера Хилла намного меньше, чем расстояние между двумя объектами, что означает, что мы можем аппроксимировать:

$$\begin{aligned} 1 + q &\approx 1 \\ \left(1 - z\right)^{-2} &\approx 1 + 2z \end{aligned}$$

Где вторая строка — биномиальное приближение . Это дает:

$$1 - z \approx 1 + 2z - qz^{-2}$$

Переставить, чтобы решить для$z$:

$$z^3 \approx \frac{q}{3}$$

А затем, используя определения$z$и$q$это становится

$$h \approx r \left(\frac{m_2}{3 m_1}\right)^{1/3}$$

Это обычная формула для размера сферы Хилла.

---

Для L ₂ точка Лагранжа расположена за вторичкой, поэтому уравнение силы тяжести и кругового движения принимает вид:

$$\omega^2 \left(r_2 + h'\right) = \frac{G m_1}{\left(r + h'\right)^2} + \frac{G m_2}{h'^2}$$

Где$h'$– расстояние от вторичного до точки L ₂ .

Замена в$\omega$и переписать с точки зрения$q$и$z' = \frac{h'}{r}$дает:

$$1 + z'\left(1 + q\right) = \left(1 + z'\right)^{-2} + qz'^{-2}$$

Опять же, это дает пятое уравнение для$z'$, но мы можем сделать аналогичные приближения для случая L ₁ :

$$\begin{aligned} 1 + q &\approx 1 \\ \left(1 + z'\right)^{-2} &\approx 1 - 2z' \end{aligned}$$

Это дает:

$$1 + z' \approx 1 - 2z' + qz'^{-2}$$

Упрощение и замена переменных снова:

$$h' \approx r\left(\frac{m_2}{3m_1}\right)^{1/3}$$

---

Это работает для круговых орбит. Для эксцентричных орбит обычный подход состоит в том, чтобы просто заменить расстояние$r$с перицентральным расстоянием$a\left(1 - e\right)$куда$a$является большой полуосью. Более строгим подходом было бы использование угловой скорости в перицентре и вывод оттуда, но я оставлю это в качестве упражнения для заинтересованного читателя :-)

Сфера Хилла названа в честь Джона Уильяма Хилла (1812–1879), и ее простая логика следует из присутствия трех тел (давайте предположим, что Солнце является самой большой массой с Землей в качестве вторичной массы и спутником незначительной массы, вращающимся вокруг Земли в качестве третьего). масса), где радиус сферы Хилла будет наибольшим радиусом, на котором спутник может вращаться вокруг вторичной массы (Земли в данном случае). Если его орбита превысит радиус Хиллса, то он попадет под гравитационное воздействие первого тела (солнца) и, следовательно, уже не будет спутником вторичного тела.

Можно написать уравнения Ньютона, используя идею о том, что спутник имеет ту же угловую скорость, что и вторичный объект. Это то, что угловая скорость Земли вокруг Солнца равна угловой скорости спутника вокруг Солнца. Демонстрация вывода приведена по следующей ссылке, а также предела Роша:

http://www.jgiesen.de/astro/stars/roche.htm