Преобразование углового момента в линейный импульс в свободном пространстве

Сохранение линейного количества движения и сохранение углового момента следуют из теоремы Нётер , которая показывает, как законы сохранения возникают из симметрий.

Сохранение импульса возникает из-за трансляционной инвариантности — то есть, если вы сдвинете пространство в каком-то направлении, законы физики останутся прежними. Сохранение углового момента возникает из-за вращательной инвариантности — то есть, если вы вращаете пространство в каком-то направлении, законы физики остаются теми же.

Рассмотрим частицу, движущуюся в одномерном свободном пространстве. Лагранжиан

$$L(x,\dot{x},t)=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$$ Преобразование $$t'=t,\quad x'=x+\epsilon,\quad \dot{x}'=\dot{x}$$ Затем это дает $$\delta x=\epsilon,\quad\delta\dot{x}=0$$ Теорема Нётер утверждает, что существует сохраняющаяся величина для некоторой обобщенной координаты $q$, который $$J=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q-F$$ То есть, $$\frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}t}=0$$ Здесь несложно заметить, что $q=x$, $\dot{q}=\dot{x}$. Поэтому, $$J=m\dot{x}\epsilon-F$$ Отсюда легко увидеть, что $m\dot{x}$является константой, т. $p_x$сохраняется.

Мы можем построить аналогичный лагранжиан для любого количества тел в любом количестве измерений и обнаружить, что полный импульс системы сохраняется. В самом деле, мы можем сделать это и для углового момента. Если мы это сделаем, то обнаружим, что эти два закона сохранения независимы друг от друга. Любой импульс сохраняется независимо от другого. Следовательно, оба сохраняются, и ни одно из них не может быть «преобразовано» в другое.

Я хотел бы привести другой аргумент:

Линейный импульс и угловой момент имеют разные измерения — они принципиально разные — нельзя получить яблоко из апельсина и нельзя добавить яблоко к апельсину.

Поскольку размерность углового момента равна размерности линейного импульса, умноженной на длину:$[J]=[P]\cdot L$

Очевидно, что нет никакого способа сравняться$[J]$к$[P]$, так что ответ на ваш вопрос: нет.

---

Недостаток вашего аргумента в том, что на самом деле после этого не происходит ни увеличения, ни уменьшения углового момента. Если вы суммируете изменения углового момента двух волчков после столкновения, они дадут ноль, так как в вашем мысленном эксперименте угловой момент сохраняется. То же самое для линейного импульса.

Я не знаю математических доказательств, но нет, этого не должно происходить.

Угловой момент может быть вращающимся телом или вращающимся телом.

Если вращающееся тело ударится о другое тело, тела могут отскочить друг от друга, но это не изменит импульса системы, так как отскок будет в противоположных направлениях, а импульс системы останется неизменным.

Если вращающееся тело сталкивается с другим телом. Вращение означает, что одно тело вращается вокруг другого тела или оба тела вращаются друг вокруг друга. В этом случае также момент количества движения обусловлен взаимным притяжением тел. И когда они сталкиваются, они одинаково толкают/тянут друг друга, чтобы слиться.

Тогда возникает вопрос, куда уходит кинетическая энергия из-за углового момента: теряется ли она при столкновении или преобразуется во вращение объединенного тела.

Полный угловой момент сохраняется. Но это больше, чем вращение объектов.

Рассчитанный от начала инерциальной системы отсчета, каждый объект имеет:

$$\mathbf L = \mathbf r_{CM} \times \mathbf p_{CM} + I \omega$$ где$I$- матрица инерции и$\omega$– угловая скорость матрицы столбца.$\mathbf r_{CM}$- положение центра масс, а$\mathbf p_{CM}$его импульс.

Сумма$\mathbf L_1$и$\mathbf L_2$одинакова до и после столкновения. Но величина спиновой компоненты$|I\omega|$может уменьшаться (или увеличиваться) для обоих объектов.

Да, я только что провел мысленный эксперимент, который показывает, что угловой момент действительно преобразуется в линейный.

Представьте, что у нас есть два гироскопа или волчка, вращающиеся на столе. Каждая волчка быстро вращается, но движется по столу медленно, т. е. у них большой угловой момент, но мало линейного.

Теперь представьте, что два волчка столкнутся. Произойдет следующее: обе волчки оторвутся с большой скоростью, при этом угловой момент преобразуется в линейный.

Это можно увидеть в этом видео kenkogama . Когда вершины соприкасаются, они удаляются друг от друга гораздо быстрее, чем сближаются.