Константы движения от лагранжиана

Если$q_i$обозначает обобщенные координаты, то обратите внимание, что перевод времени$t \to t+\epsilon$бесконечно мало соответствует$q_i \to q_i + \epsilon \frac{d}{dt}q_i$и так$\delta q_i = \dot{q}_i$. Изменение лагранжиана равно

$$\delta L = \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \ddot q_i = \frac{d}{dt}L$$

которая является полной производной, если$L$не имеет явной зависимости от времени. По теореме Нётер у нас есть сохраняющаяся величина,

$$Q = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot q_i - L$$

который мы можем распознать как преобразование Лежандра лагранжиана, то есть гамильтониана, и, таким образом, энергия системы сохраняется. Очевидно, это относится и к вашему лагранжиану.

Как вы заметили, ваш лагранжиан также инвариантен при$\theta \to \theta + \alpha$для которого$\alpha \delta \theta = \alpha$, и$\delta L =0$. Таким образом, у нас есть сохраняющаяся величина, которую мы можем определить как сопряженный импульс, а именно:

$$p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = \frac12 mr^2.$$

Другой способ увидеть это состоит в том, что уравнения Эйлера-Лагранжа читаются так:$\frac{\partial L}{\partial \theta} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}$а так как нет$\theta$зависимость,

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = \frac{d}{dt} p_\theta = 0.$$

В вашем случае ответ да, все просто. Причина в том, что все константы движения, с которыми вы имеете дело, связаны с некоторой трансляционной симметрией. Энергия соответствует перемещениям во времени, угловой момент – вращениям (перемещениям в$\theta$) и линейный импульс к переводам.

Есть теорема, связывающая симметрии лагранжиана и константы движения: теорема Нётер . В нем говорится, что для любой симметрии существует соответствующая константа движения, которую можно вычислить с помощью лагранжиана и преобразования симметрии. Это общий способ вычисления констант движения.

Для нестационарных лагранжианов симметрия (преобразование$x\mapsto x(\lambda)$такой, что$L(x(\lambda),\dot{x}(\lambda))=L(x,\dot{x})$, где$x$обозначает вместе все координаты) подразумевает постоянную движения

$$\begin{align} C=&\sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}}\frac{\partial x_i}{\partial\lambda}. \end{align}$$

Простой вывод (без излишних подробностей):

$$\begin{align} \frac{dC}{dt}=&\sum_i\left[\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}}\right)\frac{\partial x_i}{\partial\lambda}+ \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \frac{d}{dt}\frac{\partial x_i}{\partial\lambda}\right] \\ =& \sum_i\left[ \frac{\partial L}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial\lambda}+ \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial\lambda}\right] = \frac{dL}{d\lambda}=0. \end{align}$$

Теперь о поворотах$\theta\mapsto \theta+\lambda$, наше сохраняемое количество равно$C_\theta=\partial L/\partial\dot{\theta}=mr^2/2$, угловой момент. Для лагранжевого инварианта относительно$r\mapsto r+\lambda$,$C_r$- сохраняющийся линейный импульс. Поскольку в нашем случае это не симметрия,$C_r$не является константой движения.

Для временной симметрии нам понадобится обобщенная версия теоремы Нётер, но поскольку в данном случае нас конкретно интересует связь между энергией и временем, заметим, что производная энергии равна

$$\begin{align} \frac{dH}{dt}=\frac{d}{dt}(p\dot{q}-L)= \frac{d}{dt}\left(\frac{dL}{d\dot{q}}\dot{q}-L\right)= \frac{dL}{dq}\dot{q}+\frac{dL}{d\dot{q}}\ddot{q}-\frac{dL}{dt} = -\frac{\partial L}{\partial t} \end{align}$$ и поэтому, $H$сохраняется, если $L$явно не зависит от времени.

Обычно наблюдение циклических координат в лангранжиане свидетельствует о сохраняющейся величине. Под циклическим я подразумеваю игнорируемый или практически не присутствующий. Для этого вам следует обратиться к Гольдштейну.

Во-вторых, теорема Нётер позволит вам определить константы движения. Однако, чтобы ответить на ваш вопрос, да, мы можем просто наблюдать сохраняющиеся величины, глядя на лангранжиан системы. Вам может понравиться искать сохраняющиеся величины в некоторых релятивистских метриках пространства-времени, таких как у Карла Шварцшильда. Это может быть забавным и поучительным примером. Конечно, есть еще много. Удачи.