Должны ли все симметрии иметь последствия?

Теорему Нётер слишком усердно применяют — она применима только к теориям с лагранжевой формулировкой или к квантовой механике. Это верно для фундаментальных систем, но для нефундаментальных систем у вас могут быть классические уравнения, которые симметричны, симметрия не подразумевает закон сохранения.

Симметрия не приходит без следствия, однако она приходит с следствием симметричных решений! Если уравнения симметричны относительно преобразования, решения должны приходить семействами, которые переходят друг в друга при симметрии. Для классических систем это не является особенно глубоким следствием. Поэтому я буду рассматривать системы, где это единственное последствие.

В качестве глупого примера рассмотрим законы Ньютона для объекта, свободно падающего в гравитационном поле. Ускорение равномерно в направлении z, но импульс z не сохраняется. Причина в том, что лагранжиан не инвариантен в направлении z. Но вы не узнаете этого, взглянув на уравнения движения.

В качестве менее глупого примера рассмотрим законы Ньютона для частицы с постоянной силой и$v^3$закон трения, говорят:

И есть симметрия в переводе времени и для переводов в x. Но кроме сообщения о тривиальном факте, что решения переводимы в x и в t, это больше ничего вам не говорит.

Эти проблемы довольно глупые, поэтому я приведу дедушку всех примеров — несжимаемые уравнения Навье-Стокса с гипервязкостью (так что то, что я говорю, определенно верно). Здесь у вас есть зависящий от времени диффеоморфизм$X(x)$из n-мерного пространства, общая точка которого называется x, в себя.

Производная по времени от X представляет собой поле скоростей v, а v подчиняется уравнению

Где$\epsilon$термин вводится, чтобы убедиться, что уравнение имеет единственную и гладкую начальную задачу, так что X-диффеоморфизм имеет смысл. Это уравнение трансляционно инвариантно к t трансляциям и полностью инвариантно к диффеоморфизму --- составление X с помощью диффеоморфизма принимает решение в решение, но оно не имеет сохраняющейся энергии (хотя формально предел$\nu=\epsilon=0$имеет) и не имеет какой-либо сохраняющейся величины, соответствующей инвариантности диффеоморфизма. Дифференциальная инвариантность — это калибровочная избыточность в X-описании.

Эти симметрии по-прежнему имеют тривиальное следствие симметричных решений, поэтому вы можете перевести любое решение во времени и выполнить диффеоморфизм начальных позиций. Это просто ничего не значит для изучения уравнения.

Что вы подразумеваете под "последствиями"?

Классически топологические числа могли бы соответствовать этому счету. В квантовой теории поля это зависит от того, разумно ли рассматривать суперпозиции топологических секторов. Если есть S-дуальность, возможно, так и есть.

Если имеется непрерывная симметрия действия, то при квантовании необходимо брать частное по симметрии — калибровка зафиксирует. Один из способов увидеть это — просто рассмотреть теорию возмущений. Квадратичная связь в лагранжиане будет постоянной вдоль потока симметрии, поэтому она будет иметь вырожденную производную в направлениях касательного пространства вдоль этого потока и, следовательно, не будет обратимой. Таким образом, мы не сможем найти распространителя.

Абстрактно, теория возмущений работает, когда квантованная классическая теория интегрируема. Чтобы показать, что 2n-мерная система является интегрируемой, необходимо указать n коммутирующих по Пуассону интегралов движения. Непрерывная симметрия дает единицу по теореме Нётер, а n является наиболее возможным в 2n измерениях, поэтому необходимо получить n интегралов движения, которые линейно складываются в нётеровский заряд симметрии. Другими словами, в конце концов человек включает симметрию в решение, независимо от того, собирался ли он это сделать.

Я чувствую, что могут быть более странные вещи, которые происходят невозмутимо, но я не уверен. Конечно, если нужно, чтобы все наблюдаемые также подчинялись симметрии, можно придумать БРСТ-оператор. Существование этого оператора означает, что некоторые состояния в «большом» гильбертовом пространстве, не учитывающие симметрию, обязательно имеют нулевую норму. Можно ли это сделать во всех случаях?

С другой стороны, возможна потеря симметрии при квантовании. Обычно в этом виновата схема регуляризации, но в некоторых случаях можно доказать, что никакая схема регуляризации не является инвариантной относительно симметрии. Примером может служить 2+1-мерная теория Черна-Саймонса с петлями Вильсона. Несмотря на то, что лагранжиан полностью топологически инвариантен, необходимо выбрать оснащение петель, чтобы упорядочить самопересечения. Точно так же существуют теории с явно конформными лагранжианами, но требующие нарушения масштабной инвариантности при регуляризации.

Дискретные симметрии, конечно, имеют совсем другой вкус.